Вопрос о "приоритете": Пифагор или Парменид?

Поскольку А. Сабо в своей весьма содержательной и серьезной работе "Начала греческой математики" приходит к выводу, что учение элеатов в сущности легло в основу греческой математики и стало, таким образом, отправным пунктом в ее развитии, мы должны рассмотреть этот вопрос детальнее.

Сабо рассуждает следующим образом. Греческая математика, говорит он, отличается от египетской и вавилонской тем, что в ней утверждения, положения всегда доказываются, в то время как древневосточные тексты математического содержания содержат только интересные инструкции, так сказать, рецепты и часто примеры того, как надо решать определенную математическую задачу. Анализируя структуру математического доказательства, как оно дается в "Началах" Евклида, Сабо приходит к выводу, что доказательство представляет собой способ удостоверения того или иного положения, которое не желают (или не могут) удостоверить с помощью наглядной демонстрации. Сабо допускает, что в более ранний период математики доказывали свои утверждения, демонстрируя доступную созерцанию фигуру, так что ядро доказательства составляла конкретная наглядная демонстрация; в основе доказательства, таким образом, лежала эмпирическая и наглядная очевидность. От такого рода доказательства Евклид, подчеркивает Сабо, отказался. При этом речь идет, как полагает Сабо, не о простом повороте от наглядных моделей к понятиям, а о "сознательном отказе от созерцательного (наглядного)", о сознательном избегании просто наглядного. В результате отказа от созерцания Евклид, говорит Сабо, прибегает к так называемому косвенному выводу - доказательству от противного.

"Оба эти явления в греческой математике - отказ от эмпиризма и характерное использование косвенного вывода - я свожу к решающему влиянию философии элеатов", - пишет Сабо.

Связь здесь вполне понятна: именно элеаты впервые последовательно проводят мысль о том, что истинное знание может быть получено только с помощью разума, а чувственное восприятие всегда недостоверно.

Мы совершенно согласны с Сабо в том отношении, что именно философия элеатов впервые положила начало логической рефлексии относительно важнейших понятий античной науки, и прежде всего математики. В этом смысле ее значение для развития античной науки трудно переоценить. Именно после критики элеатов начинается уяснение предпосылок греческой математики, которые у ранних пифагорейцев, как мы видели, еще оставались непроясненными. Именно после критики элеатов, впервые поставивших на обсуждение проблему бесконечности и связанную с ней проблему континуума (пространства, времени, движения), начинают складываться основные направления научной мысли Древней Греции. <…>

Апории Зенона

Из 45 апорий, выдвинутых Зеноном, до нас дошло 9. Классическими являются пять апорий, в которых Зенон анализирует понятия множества и движения.

Первую, получившую название "апория меры", Симпликий излагает следующим образом:

"Доказав, что, "если вещь не имеет величины, она не существует",

Зенон, прибавляет: "Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие".

То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину и свое предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными".

Аргумент Зенона, вероятнее всего, направлен против пифагорейского представления о том, что тела "состоят из чисел". В самом деле, если мыслить число как точку, не имеющую величины ("толщины", протяженности), то сумма таких точек (тело) тоже не будет иметь величины, если же мыслить число "телесно", как имеющее некоторую конечную величину, то, поскольку тело содержит бесконечное количество таких точек (ибо тело, по допущению Зенона, можно делить "без предела"), оно должно иметь бесконечную величину. Из этого следует, что невозможно мыслить тело в виде суммы неделимых единиц, как это мы видели у пифагорейцев.

Можно, пожалуй, сказать, продолжив мысль Зенона: если "единица" неделима, то она не имеет пространственной величины (точки); если же она имеет величину, пусть как угодно малую, то она делима до бесконечности. Элеаты впервые поставили перед наукой вопрос, который является одним из важнейших методологических вопросов и по сей день²⁰: как следует мыслить континуум - дискретным или непрерывным? состоящим из неделимых (единиц, "единств", монад) или же делимым до бесконечности? Любая величина должна быть понята теперь с точки зрения того, состоит ли она из единиц (как арифметическое число пифагорейцев), неделимых "целых", или она сама есть целое, а составляющие ее элементы самостоятельного существования не имеют. Этот вопрос ставится и по отношению к числу, и по отношению к пространственной величине (линии, плоскости, объему), и по отношению к времени. В зависимости от решения проблемы континуума формируются и разные методы изучения природы и человека, т.е. разные научные программы.

Пока мы рассмотрели только одну апорию Зенона, в которой выявляется противоречивость понятия "множества". Теперь перейдем к тем апориям, где обсуждается возможность мыслить движение. Мы увидим, что здесь в основе лежит тоже проблема континуума. Наиболее известны четыре апории этого рода: "Дихотомия", "Ахиллес и черепаха", "Стрела" и "Стадий". Кратко их содержание передает Аристотель в "Физике":

"Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, которые хотят их разрешить.

Первое, о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца...

Второе, так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что существо более медленное в беге никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше придти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество...

Третье... заключается в том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается из отдельных "теперь"...

Четвертое рассуждение относится к двум разным массам, движущимся с равной скоростью, одни - с конца ристалища, другие - от середины, в результате чего, по его мнению, получается, что половина времени равна ее двойному количеству".

Первая апория - "Дихотомия" - доказывает невозможность движения, поскольку преодоление любого расстояния предполагает "отсчитывание" бесконечного множества "середин": ведь любой отрезок можно делить пополам - и так до бесконечности. Другими словами, если континуум мыслится как актуально данное бесконечное множество, то движение в таком континууме невозможно мыслить, ибо занять бесконечное число последовательных положений в ограниченный промежуток времени невозможно.

Эту антиномию можно истолковать двояким образом, и в зависимости от истолкования ее и решают по-разному. Если считать, что противоречие состоит в невозможности в конечный отрезок времени "отсчитать" бесконечное число моментов (пройти бесконечное число положений), то решение антиномии будет состоять в указании, что Зенон неправомерно отождествил бесконечность с бесконечной делимостью. Такое решение апории Зенона дал Аристотель, введя понятие континуума как потенциально делимого до бесконечности. В самом деле, если все дело в том, что в конечный отрезок времени нельзя пройти бесконечное количество точек пространства, то достаточно указать на то, что и любой конечный отрезок времени точно так же можно делить до бесконечности, как и любой отрезок пространства. Но возможность деления, говорит Аристотель, еще не тождественна действительной поделенности как пространства, так и времени; иначе говоря, пространство и время делимы до бесконечности потенциально, но не поделены до бесконечности актуально. Бесконечная делимость не есть бесконечная величина, а потому движение, по Аристотелю, мыслимо без всякого противоречия. Каждому моменту времени соответствует определенная точка в пространстве. Так введением потенциальной бесконечности Аристотель решает антиномию, возникшую у Зенона при допущении континуума как актуальной бесконечности.

Однако проблема актуальной бесконечности, поставленная Зеноном, при этом не снимается. В самом деле, рассуждение Зенона основано на невозможности мыслить завершенную бесконечность. И если говорят, что не только любой отрезок пространства, но любой отрезок времени содержит в себе бесконечность, так что между моментами того и другого можно установить взаимно-однозначное соответствие, то этим еще не решается вопрос о том, как же мыслить бесконечность осуществленной, законченной. Аристотель решает этот вопрос, устраняя вообще актуально-бесконечный континуум. Попытку решить проблему, оставаясь на почве актуальной бесконечности, предпринял Г. Кантор; С.А. Богомолов попытался показать, каким образом с точки зрения теории множеств можно разрешить парадоксы Зенона.

В основе апории "Ахиллес" лежит то же противоречие, что и в основе "Дихотомии": чтобы догнать черепаху, Ахиллес должен занять бесконечное множество "мест", которые до тех пор занимала черепаха.

В третьей апории - "Стрела" - Зенон доказывает, что летящая стрела покоится. Зенон здесь исходит из понимания времени как суммы дискретных (неделимых) моментов, отдельных "теперь", а пространства - как суммы точек. Он рассуждает так: в каждый момент времени стрела занимает определенное место, равное своему объему (ибо в противном случае стрела была бы "нигде"). Но если занимать равное место, то двигаться невозможно (движение предполагает, что предмет занимает место, большее, чем он сам). Значит, движение можно мыслить только как сумму состояний покоя, а это невозможно (ибо сумма нулей не дает никакой величины). Таков результат, вытекающий из допущения, что пространство состоит из суммы неделимых "мест", а время - из суммы неделимых "теперь".

Аналогично можно было бы рассуждать, исходя из неделимости "моментов" времени: в каждый из моментов стрела должна покоиться, а значит, движение невозможно. Допустить движение значит предположить, что "момент" будет разделен.

Как видим, доказательство невозможности движения основано на допущении дискретного континуума - пространство и время мыслятся как состоящие из актуального множества неделимых "единиц". Апория "Стадий" по своим предпосылкам сходна со "Стрелой" <…>

Таким образом, все четыре апории имеют целью доказать невозможность движения, поскольку его нельзя мыслить, не впадая в противоречие. Вывод Зенона парадоксален в том смысле, что, будем ли мы мыслить континуум делимым до бесконечности (апории "Дихотомия" и "Ахиллес и черепаха") или же, напротив, состоящим из неделимых моментов (апории "Стрела" и "Стадий"), мы не можем без противоречия мыслить движение ни в том, ни в другом случае. В первом случае в силу бесконечной делимости пространства никакой - даже самый малый - отрезок пути не может быть пройден; более того, внимательно присмотревшись к апории "Дихотомия", мы увидим, что движение не может даже и начаться: ведь чтобы пройти половину отрезка, нужно сначала пройти половину этой половины и т.д. до бесконечности, а значит, невозможно пройти никакой конечный отрезок пути. В случае "Ахиллеса" - та же ситуация, только бесконечная последовательность направлена не в прошлое, а в будущее.

Во втором случае - "Стрела" и "Стадий" - никакое движение невозможно в силу того, что и время, и пространство состоят из неделимых элементов.

Парадоксы Зенона не раз квалифицировались в истории как скептицизм и даже "софизмы". Поводом к этому служило, помимо прочего, и то обстоятельство, что эти парадоксы разрушают определенные представления, в том числе не только теоретические установки (пифагорейцев или Гераклита), но и, казалось бы, неопровержимые факты опыта, к каковым относятся и множественность, и движение.

Апории Зенона действительно имеют критическую направленность, и мы увидим ниже, к какому пересмотру теоретических предпосылок пифагореизма дала толчок критика Зенона.

Однако есть в этих апориях и такая сторона, на которую до сих пор обращалось недостаточно внимания, но которая сыграла важную роль в развитии науки. В самом деле, в апориях Зенона предполагается обязательным при исследовании движения строго соотносить друг с другом точки пространства с моментами времени: все, что движется, должно иметь пространственную и временную "координаты". И хотя Зенон доказывает, что в действительности движение не соответствует и не может соответствовать этому требованию (потому оно и немыслимо), но требование, само требование от этого своей силы не теряет. А это, в сущности, есть работа над прояснением необходимых логических предпосылок определения понятия движения. Зенон сформулировал задачу для науки. И, хотя сам он счел ее неразрешимой, другие ученые могли теперь пытаться ее решить хотя бы путем обхода тех парадоксов, которые вскрыл Зенон.

Таким образом, Зенон в ходе своей критически-отрицательной работы подготовил почву для создания важнейших понятий точного естествознания: понятия континуума и понятия движения. Стремление впоследствии положительно решить задачу, условия которой дал Зенон, привело к созданию новых программ научного исследования - с одной стороны, программы Демокрита, с другой - преобразованной (не без помощи Платона) пифагорейской программы и, наконец, программы Аристотеля. <…>