Глава IV. Простейшие случаи движения микрочастиц.

§ 4.1. Свободное движение частиц.

Рассмотрим свободное движение частицы, то есть такое движение, при котором на частицу не действуют внешние силы. Исходя из определения, ясно, что потенциальная энергия частицы равна нулю, так как потенциальная энергия есть энергия взаимодействия, а при его отсутствии она, очевидно, равна нулю. Тогда в операторе Гамильтона останется лишь слагаемое, описывающее её кинетическую энергию. В классической механике кинетическая энергия системы или частицы описывается следующим выражением: . В квантовой же механике эту величину описывает оператор Гамильтона. Для одномерного случая: (1). Уравнение частицы описывается уравнением Шредингера: . Подставляя в него (1), получим: или . В большинстве случаев движущейся частице можно поставить в соответствие волну де Бройля, поэтому мы можем выбрать волновую функцию, описывающую плоскую волну: , где . Таким образом, . Подставим этот вид волновой функции в уравнение Шредингера: . Дифференцируя, вынося из-под знака дифференциала константы, и сокращая одинаковые множители, получим: . В итоге, получим: . Приведём полученное дифференциальное уравнение к стандартному виду: . Итак, мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, независящее от времени. Оно называется стационарным уравнением Шредингера. Решая его, получим: (2). Мы можем так записать, так как и, следовательно, . Первое слагаемое в выражении (2) описывает движение частицы в направлении оси , а второе – против направления этой координатной оси. Итак, в общем случае: . Таким образом, общее уравнение Шредингера имеет однозначное и непрерывное решение, которое существует для любых значений , что означает, что энергия свободно движущейся частицы может принимать любые значения, то есть энергетический спектр непрерывен. Более того, энергия частицы и её импульс являются величинами одновременно измеримыми, то есть .

Доказательство. Так как по определению , то вычислим входящие в эту формулу слагаемые по очереди.

1. . Воздействуем этим оператором на некоторую функцию : . Таким образом, .

2. . Аналогично предыдущему пункту: . Итак, .

Находя теперь сумму слагаемых, полученных в пунктах 1 и 2, получим: , что и требовалось доказать.

Так как спектр собственных значений энергии непрерывен, то нормировка волновой функции оператора энергии на единицу невозможна. Действительно: . Поэтому пользуются условием нормировки на длину периодичности. Этот способ состоит в следующем. Пусть само по себе движение частицы неограничено, но нас интересует движение частицы на участке . В этом случае мы можем рассматривать не всё бесконечное пространство, а участок длиной . Пусть вне этого участка значения волновой функции повторяются, то есть волновая функция периодична с периодом . Условие периодичности мы можем записать в виде: . Так как движение ограничено, то спектр энергии может быть дискретен. Найдём все возможные значения энергии: . Условие периодичности нам даёт следующее выражение: . Очевидно, что данное равенство возможно, если . Распишем эту экспоненту: . Отсюда , . Таким образом, импульс принимает какие-то строго определённые значения, значит, и энергия тоже принимает определённые дискретные значения: . . Величина называется шагом дискретизации энергии. Найдём расстояние между энергетическими уровнями: . Из последней формулы видно, что расстояния между энергетическими уровнями обратно пропорциональны . Таким образом, чем конкретнее и меньше , тем разрежённей энергетические уровни. При спектр, очевидно, становится непрерывным. Обобщая предыдущие рассуждения, можно сказать: чем точнее локализовано положение частицы. Тем ярче выражена дискретность её спектра.

Воспользуемся для дискретного спектра условием ортонормированности волновой функции: . Подставляя в него конкретные функции, получим: . Таким образом, чтобы выполнялось условие нормировки, необходимо положить . Тогда система ортонормированных функций будет выглядеть так: , где . Если перейти к волновому вектору , то получим: так как , то . И в выражении для волновой функции имеем: . Таким образом, мы нашли возможные значения энергии и волновой функции в случае ограниченного движения частицы по длине периода.

§ 4.2. Частица в одномерной потенциальной яме.

Мы будем рассматривать связанное движение частиц. Движение частицы в потенциальной яме является примером такого движения. Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия меньше, чем в окружающем пространстве. В частности движение электрона в кулоновском потенциале ядра есть движение в потенциальной яме. Рассмотрим простейший случай одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками. Её можно описать следующими уравнениями: . Так как энергия частицы внутри ямы нулевая, то существует только вероятность нахождения частицы внутри ямы, так как она не может преодолеть стенки ямы: . Так как волновая функция имеет смысл плотности вероятности нахождения частицы в той или иной точке пространства, то и . Таким образом имеет смысл искать волновую функцию только внутри ямы. Стационарное уравнение Шредингера внутри ямы имеет вид: . Здесь – энергия частицы. Запишем граничные условия: (1). Введём следующее обозначение: . Тогда уравнение Шредингера примет вид: . Решением данного уравнения является функция . Используем первое граничное условие: , следовательно, . Но , поэтому . Применим теперь второе граничное условие: . То есть . Получается, что зависит от . Тогда . Очевидно, что принимает дискретные значения. Вспоминая, что , получим с учётом последнего выражения: . Отсюда , причём минимальная энергия равна: . Таким образом, энергию движущейся частицы внутри потенциальной ямы мы можем представить в виде энергетических уровней. Волновая функция такой частицы имеет вид: . Волновая функция основного состояния . Эта функция внутри ямы изменяется и с уменьшением размера ямы энергия возрастает. Найдём константу из условия нормировки: вероятность нахождения частицы внутри ямы равна 1: . . Отсюда и для волновой функции имеем: . В случае конечных значений потенциальной энергии существует ненулевая вероятность прохождения частицы за пределы ямы. Мы докажем этот факт чуть позже.

Рассмотрим случай несимметричной ямы: один барьер бесконечный, а другой имеет конечные размеры. Рассмотрим движение в двух областях: и .

1. В первой области уравнение Шредингера имеет вид . Вводя обозначение , получим: . Решение этого уравнения аналогично предыдущему пункту: . Из граничных условий, которые соответствуют (1), получаем, что и .

2. Во второй области уравнение Шредингера имеет вид: или . Введём здесь обозначение: . С учётом обозначения можно записать: . Решение данного уравнения зависит от . Имеют место два случая: и в зависимости от знака . Разберём каждый случай.

1. Случай . Общий вид решения исходного уравнения задаётся формулой: . Волновая функция частоты должна быть непрерывна. Этот факт математически выражается так: и (2). Подставляя значения функций, получим: или . Считая производные и удовлетворяя равенству (2), получим: или . Мы получили систему уравнений: . Эти условия всегда могут быть удовлетворены. Поэтому в случае спектр энергии непрерывен, частица при своём движении не локализована в конечной области пространства, её движение инфинитно.

2. Случай . В этом случае . Решением этого уравнения будет функция следующего вида: . Первое слагаемое в данном уравнении не имеет физического смысла, иначе волновая функция неограниченно возрастать с увеличением . Поэтому мы обязаны положить . Получится уравнение: . Эта функция ограничена для любого значения энергии. Однако даже если энергия частицы меньше энергии потенциального барьера, то всё равно существует вероятность обнаружить частицу за барьером. С ростом волновая функция убывает.

Попробуем теперь найти возможные значения энергии, которые будут принимать частица в том случае, если её энергия будет меньше энергии потенциального барьера: . Рассмотрим уравнения волновых функций в двух различных областях: , . Из соображений конечности волновой функции и её непрерывности мы можем записать: и . Подставляя конкретный вид соответствующей функции, получим: и . Разделим второе уравнение на первое. В результате получим: , (3). Найдём возможные значения и , чтобы найти возможные значения энергии. Известно, что , а . Возвращаясь к выражениям (3) и используя только что приведённые, получим: . Подставляя выражение для в предыдущую формулу, получим , , так как . Тогда , где . Решаем последнее уравнение графически. Точки пересечения дают значения энергии. Так как прямая неограничено возрастает, а синус – функция ограниченная, то число точек пересечения будет конечно. Таким образом, и спектр энергии будет дискретным. Итак, мы получили различные выражения для различных видов ям и энергий частицы. Если яма имеет бесконечную глубину, то энергия будет принимать дискретные значения, причём набор этих значений будет бесконечен. Если яма имеет конечную глубину, то в зависимости от энергии частицы будет образовывать либо непрерывный спектр в случае , либо дискретный в случае .

§ 4.3. Прохождение частицы через потенциальный барьер.

Выше уже было показано, что даже если энергия частицы меньше энергии потенциального барьера, то всё равно существует не нулевая вероятность обнаружить частицу по другую его сторону. Рассмотрим этот случай немного более подробно.

Область пространства, в которой потенциальная энергия больше, чем в окружающем пространстве называется потенциальным барьером. В случае, представленном на рисунке, энергия потенциального барьера определяется таким образом: . Будем рассматривать одномерный случай. В случае многомерной потенциальной ямы уравнение Шредингера придётся записывать просто для каждой координаты. Таким образом, не ограничивая общности, мы можем рассматривать одномерный случай. Если частица, имеющая энергию , движется в области I, в направлении оси , то в классической механике, если , то частица не сможет преодолеть потенциальный барьер, отразится и изменит направление своего движения на противоположное. В квантовой механике вероятность прохода частицы существует. Явление прохода частицы во вторую и третью зоны называется туннельным эффектом. Туннельный эффект характеризуется коэффициентом пропускания барьера: и коэффициентом отражения . Так как частицы не могут оседать на стенках ямы, то . Найдём эти коэффициенты. Рассмотрим уравнения Шредингера, описывающие состояние частицы в первой, второй и третьей областях.

1. , где .

2. , где .

3. , где .

Решения этих уравнений имеют соответственно вид1:

1. Так как существует вероятность того, что частица будет двигаться как по направлению оси , так и против, то решение будет содержать два слагаемых, описывающих движение частицы, происходящее сонаправлено с осью и в противоположную сторону: .

2. .

3. В данном случае движение начинается с точки и происходит сонаправлено с осью . Поэтому решение уравнения примет вид: .

Получим теперь квантово-механическое выражение для интенсивности. По определению интенсивности можно записать: . Представим через объём и длину области: . Тогда . Здесь – скорость движения частицы в данном направлении. Очевидно, что число частиц в данной области пространства пропорционально плотности вероятности нахождения частицы в данный момент времени в данной точке пространства: . Данный интеграл даёт значение близкое к единице. Поэтому, . Подставляя последнее выражение в формулу для импульса, получим: . Распишем скорость частицы через её импульс: , где – волновое число. Тогда . В последних четырёх формулах под подразумевается один из пяти коэффициентов, стоящих перед экспонентами в решениях уравнения Шредингера. Тогда для интенсивности падающих частиц имеем: , для интенсивности прошедших – и для интенсивности отражённых – . Таким образом, используя данные выше определения коэффициентов пропускания и отражения для барьера, можно записать: и . Получим теперь соотношения между коэффициентами в решении уравнения Шредингера: . Будем исходить из того, что волновая функция – непрерывная и гладкая функция. Поэтому выполнены следующие 4 условия: . Подставляя значения функций и их первых производных в заданных точках, получим следующую систему: . Решая её, получим: , где . Сравнивая полученные выражения, можно заметить, что так как , то , поэтому мы можем положить . Исходя из этого допущения, остальные соотношения запишутся довольно легко: . Таким образом, для имеем: . Подставляя в полученное ранее соотношение для , приведём это уравнение к следующему виду: , или . же легко определить из соотношения : , или . Если коэффициент пропускания не слишком мал, то есть , мы можем оценить ширину барьера, при которой сквозь него будут проникать частицы: , . Подставляя численные значения, получим .

Распространим теперь наши рассуждения на барьер произвольной формы. В этом случае барьер аппроксимируется малыми прямоугольными барьерами шириной . Выражение для в этом случае будет иметь вид: .

Возможность прохождения частицы через потенциальный барьер объясняет холодную эмиссию электронов из металла. Для удаления электронов из металла необходимо затратить некоторую определённую работу. Потенциальная энергия электронов вне металла больше, чем потенциальная энергия внутри металла, причём на границе раздела металл – вакуум потенциальная энергия резко возрастает. Внутри металла в устойчивом состоянии электроны занимают уровни с минимальной энергией. Если вблизи металла имеется электростатическое поле, которое стремится вырвать электроны из метала, то электроны будут стремиться покинут металл. Это явление называется холодной эмиссией электронов. В рамках классической механики объяснить его невозможно, так как поле в металл не проникает, то изменение потенциальной энергии возможно лишь вне металла, а чтобы покинуть металл электроны должны преодолеть потенциальный барьер, но их энергия меньше высоты барьера, поэтому частицы за него проникнуть не могут. Считалось, что электрическое поле понизит высоту потенциального барьера и электроны смогут выходить из металла. Но тогда тока эмиссионных электронов будет достаточно большой, а экспериментально это не наблюдалось. Таким образом, это явление объясняется туннельным эффектом. Тогда коэффициент пропускания такого барьера будет пропорционален , где . Здесь – напряжённость внешнего электрического поля. Очевидно, что плотность тока должна быть пропорциональна коэффициенту пропускания барьера: . Таким образом, плотность определяется по экспоненциальному закону: . Когда мерили зависимость , получилось хорошее согласие с теорией.

Ещё одно явление, механизм которого стал понятен благодаря туннельному эффекту – это – распад. Так называется самопроизвольное (с точки зрения наблюдателя) вырывание – частиц из ядра. Существует уравнение – распада: , где – некоторый коэффициент, а – полное число частиц. Коэффициент принимает для различных веществ довольно широкий круг значений. Рассмотрим расстановку сил внутри атома. Известно из опыта, что при – распаде энергия вылетевших – частиц довольно мала. В то же время, внутри атома между протонами должна действовать колоссальная сила Кулона, которая стремится разорвать атом. Тем не менее, атом сохраняет свою целостность благодаря силам, которые получили название ядерных. Эти силы весьма короткодействующие, но на межнуклонном расстоянии их оказывается достаточно, чтобы «побороть» силы Кулона. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия частиц в ядре будет отрицательной. В тоже время, при незначительном удалении от центра атома, в ход вступает сила Кулона. Её действие на таких расстояниях полностью нейтрализует действие ядерных сил. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия – частиц будет положительной. Таким образом, имеет место быть некоторая потенциальная яма (см. рис. 45). Здесь даны следующие приближения: стенки потенциальной ямы имеют строго вертикальный вид. На самом же деле края ямы несколько более пологи, но в нашем рассмотрении это не играет никакой роли. В классическом рассмотрении – частица не может преодолеть потенциальный барьер, так как обладает небольшой энергией. Если же считать, сто основную роль в – распаде играют силы Кулона, то энергия вылетевших – частиц должна быть довольно высокой. На опыте же такой факт не имел места. Квантовая же механика определяет вероятность прохождения частицей потенциального барьера как не нулевую. То есть, частица преодолеет потенциальный барьер, даже обладая небольшой энергией. На опыте как раз и наблюдались – частицы с небольшими энергиями.

§ 4.4. Линейный гармонический осциллятор.

Частица, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. В принципе, если амплитуда колебаний мала, их можно рассматривать как гармонические. Гармонические колебания, рассматриваемые в атомной физике – это колебания атомов в узлах кристаллической решётки, колебания атомов в молекуле и т. д. Как же зависит энергия линейного гармонического осциллятора от энергетического состояния атома, то есть от его главного квантового числа? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, необходимо найти собственные значения оператора Гамильтона. Для линейного гармонического осциллятора он имеет вид: . Распишем теперь каждое слагаемое: , , ; . Тогда оператор Гамильтона примет вид: . Чтобы найти собственные значения оператора Гамильтона, подставим ей в уравнение Шредингера: . Осуществим замену переменных: , , . После подстановки новых переменных, получим: ; . . Введём обозначение: . Тогда уравнение Шредингера примет вид: (1). Решим это уравнение. Получим выражение для при . В данном случае можно пренебречь во втором слагаемом первым слагаемым. В итоге получится уравнение: . Решение данного уравнения таково: . Волновую функцию на всей области определения будем искать в виде: , где – некоторая функция. Чтобы было конечным, не должно расти быстрее, чем . Подставляя данный вид решения в уравнение (1), получим: . Будем искать функцию в виде полинома: . Подставляем полином в уравнение для : , .Таким образом, . Данный многочлен будет равен нулю только в том случае, если коэффициенты при одинаковых степенях равны нулю: . Из этой формулы получается рекуррентное соотношение для коэффициентов : (2). Рассмотрим, к чему стремиться отношение при : . Это значит, что при . Действительно, разложим экспоненту в ряд Тейлора и посмотрим на поведение коэффициентов ряда при больших . ; таким образом, . Итак, . Оборвём теперь ряд на члене с номером и переобозначим в . Мы можем сделать так, если , а . Это достигается в том случае, когда (следует из рекуррентного соотношения), . Возвращаясь к значению , получим: . Отсюда . Минимальная энергия, которой может обладать квантовая частица, как следует из этого соотношения, будет . Эта энергия называется энергией вакуума. Таким образом, квантовомеханическая частица не может находиться в состоянии покоя. Иначе это противоречило бы соотношению неопределённостей. Наличие этой минимальной энергии доказывается экспериментально. Доказательство существования минимальной энергии было проведено в экспериментах по рассеянию света кристаллами. Если с уменьшением температуры амплитуда колебания атома уменьшается и стремиться к нулю, то в соответствии с законами классической механики, начиная с некоторой температуры, рассеяние света должно вообще прекращаться. В квантовой механике амплитуда колебаний атома должна стремиться не к нулю, а к некоторому предельному значению, обусловленному наличию нулевой энергии. Поэтому при понижении температуры, интенсивность рассеяния будет стремиться к некоторому пределу, что и наблюдалось в опыте.

Найдём теперь собственные функции. Из выражения (2) следует, что чётность функции совпадает с . Таким образом, , . Положим, что . Тогда остальные коэффициенты определим через рекуррентное соотношение: , с учётом выражения , получим: . Аналогично, . Полином, в котором , а , называется полиномом Эрмита: . Из свойств полинома Эрмита следует, что . Тогда волновая функция , принадлежащая собственному значению может быть представлена в виде: , где . Коэффициент находится из условия нормировки: . Отсюда . Тогда волновая функция окончательно примет вид: . Итак, мы получили выражения для собственных функций оператора Гамильтона.

§ 4.5. Движение в поле центральных сил.

Рассмотрим движение электрона в центрально-симметричном кулоновском поле ядра. Уравнение Шредингера для частицы в центрально-симметричном поле имеет вид: . Будем рассматривать для удобства движение частицы в сферической системе координат. Лапласиан в такой системе координат имеет вид: (1), где (1). Решение уравнения Шредингера будем искать в виде: . Подставляя решение в уравнение Шредингера, получим: . Разделяя переменные, можно записать: . Так как обе части этого уравнения входят независимые переменные и эти части равны, то мы должны положить . Таким образом, это уравнение распадается на два: (2) и (3). Решение уравнения (2) зависит от самого поля. Эта зависимость обуславливается наличием в уравнении . Рассмотрим поэтому сначала решение уравнения (3). Распишем лапласиан, связанный с поворотом тела в пространстве: . Производя некоторые простейшие преобразования, получим: . Так как не зависит ни от , ни от , то мы можем ввести некоторое переобозначение и рассматривать в дальнейшем это произведение как константу: . Тогда . Это уравнение допускает разделение переменных. Будем искать его решение в виде: . Подставляя его в последнее уравнение, получим: . Разделим на : , где – константа разделения. Разобьём это уравнение на две части: и , . Запишем систему . Решение первого уравнения данной системы имеет вид: . Из требования однозначности решения следует, что должно быть любым положительным или отрицательным числом. Поэтому все собственные функции дифференциального уравнения (4) могут быть представлены формулой: , где . Постоянная находится из условия нормировки и равна . Таким образом, . Решая уравнение (5), перейдём к новым координатам: . Тогда и ; . С учётом последних преобразований перепишем уравнение (5): . Чтобы привести данное уравнение к стандартному виду введём обозначение: , где – неотрицательное целое число. Тогда решением данного уравнения будет присоединённый полином Лежандра: . Причём, при заданном , может принимать только значение: . Волновая функция должна удовлетворять условию нормировки: ; . Так как и связаны однозначно, то мы можем переписать последний интеграл в виде: . Выражение, стоящее под внутренним интегралом, не зависит от , поэтому мы можем вычислять каждый интеграл по отдельности и полученные значения перемножить. Известно, что , где – символ Кронекера. Второй интеграл даёт значение . Собственная функция уравнения (5) запишется в виде: . Тогда с помощью условия нормировки, мы можем записать: . Подставляя данное значение в последнюю формулу, получим: . Мы получили угловую функцию, описывающую движение частиц в центрально – симметричном поле.

Для получения энергий стационарных состояний необходимо знать момент импульса системы. Это есть прямое следствие правил квантования. Рассмотрим моменты импульса частицы при движении в поле центральных сил: ; ; . Имеют место следующие правила коммутации: , , . Таким образом, нельзя одновременно указать два различных значения момента импульса. Однако можно показать, что . Это значит, что любая из проекций момента импульса и квадрат момента импульса могут иметь одновременно определённые значения. Так как рассматриваемое поле сферически симметрично, перейдём к сферической системе координат: . Тогда, ; ; , а . Найдём собственные значения операторов и . Для этого подействуем ими на функции и соответственно: или, с помощью уравнения (3), . Собственной функцией оператора является функция , то есть угловая часть волновой функции , а его собственным значением – . Вспоминая наше обозначение для : . Тогда, . Таким образом, мы нашли собственное значение для оператора . Посчитаем теперь собственное значение для оператора : . Подставляя значение функции , получим: . Таким образом, . Так как оператор имеет строго определённое значение, то операторы и конкретных значений не имеют и иметь не будут. Отметим также, что так как исходные функции, для которых искались собственные значения не зависят от вида центрально – симметричного поля, то и собственные значения и функции для всех таких полей будут одинаковы.

В атомной физике часто говорят, что момент импульса частицы равен , так как все функции нормируются на или на . Значение называют орбитальным квантовым числом, то есть числом, которое характеризует момент импульса электрона. В зависимости от того, какое значение принимает орбитальное квантовое число, состояние движения частицы с различными моментами импульса имеет разные названия.

Состояние	S	P	D	F	G	H

Число называют магнитным квантовым числом. Им определяется поведение частицы в магнитном поле.