Расчетливая поспешность

Мы знаем, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно, т. е. скорейшим путем. Но свет избирает скорейший путь также и в том случае, когда не идет от одной точки к другой непосредственно, а достигает ее, предварительно отразившись от зеркала.

Проследим за его путем. Пусть буква A на рис. 101 обозначает источник света, линия MN – зеркало, а линия АВС – путь луча от свечи до глаза C. Прямая KB перпендикулярна к MN.

По законам оптики угол отражения 2 равен углу падения 1. Зная это, легко доказать, что из всех возможных путей от A к C, с попутным достижением зеркала MN, путь АВС – самый скорый. Для этого сравним путь луча АВС с каким‑нибудь другим, например с ADC (рис. 102). Опустим перпендикуляр АЕ из точки A на MN и продолжим его далее до пересечения с продолжением луча ВС в точке F. Соединим также точки F и D. Убедимся, прежде всего, в равенстве треугольников ABE и EBF. Они – прямоугольные, и у них общий катет ЕВ; кроме того, углы EFB и ЕАВ равны между собой, так как соответственно равны углам 2 и 1. Следовательно, AE = EF. Отсюда вытекает равенство прямоугольных треугольников AED и EDF по двум катетам и, следовательно, равенство AD и DF.

Рис. 101. Угол отражения 2 равен углу падения 1.

Рис. 102. Свет, отражаясь, избирает кратчайший путь.

Ввиду этого мы можем путь АВС заменить равным ему путем CBF (так как AB = FB), a путь ADC – путем CDF. Сравнивая же между собой длины CBF и CDF, видим, что прямая линия CBF короче ломаной CDF. Отсюда путь АВС короче ADC, что и требовалось доказать!

Где бы ни находилась точка D, путь АВС всегда будет короче пути ADC, если только угол отражения равен углу падения. Значит, свет действительно избирает самый короткий и самый скорый путь из всех возможных между источником, зеркалом и глазом. На это обстоятельство впервые указал еще Герон Александрийский, замечательный греческий механик и математик II века.

Полет вороны

Уменье находить кратчайший путь в случаях, подобных сейчас рассмотренным, может пригодиться для решения некоторых головоломок. Вот пример одной из таких задач.

На ветке дерева сидит ворона. Внизу на дворе рассыпаны зерна. Ворона спускается с ветки, схватывает зерно и садится на забор. Спрашивается, где должна она схватить зерно, чтобы путь ее был кратчайшим (рис. 103).

Рис. 103. Задача о вороне. Найти кратчайший путь до забора.

Рис. 104. Решение задачи о вороне.

Задача эта совершенно сходна с той, которую мы только что рассмотрели. Нетрудно поэтому дать правильный ответ: ворона должна подражать лучу света, т. е. лететь так, чтобы угол 1 был равен углу 2 (рис. 104). Мы уже видели, что в таком случае путь оказывается кратчайшим.