Расчет фильтрация водных растворов активных примесей в пласте

При проектировании разработки месторождений нефти с помощью различных физико-химических методов необходимо уметь определять время образования оторочки водного раствора актив­ной примеси и необходимый для ее формирования объем химреагента, скорость продвижения оторочки по пласту, количество адсорбирующегося (т. е. осаждающегося на поверхности породы) химреагента в процессе вытеснения нефти. Кроме того, необходимо оценивать эффективность процесса вытеснения.

Задачи 1—7 посвящены изучению скорости продвижения фронта активной примеси в пласте в случаях прямолинейной и плоско-радиальной фильтрации жидкостей, определению оптималь­ных размеров оторочек активных примесей и времени их создания.

Задача 1. В водонасыщенный участок пласта шириной b = 400 м, толщиной h = 15 м, пористостью т =0,25 и с расстоя­нием между нагнетательной и добывающей галереями l= 500 м через нагнетательную галерею закачивается водный раствор ПАВ с концентрацией c₀ и темпом закачки q = 500 м^з/cyт. ПАВ сорбируется скелетом породы по закону Генри, формула которого имеет вид a(с) = c, где - коэффициент сорбции;

= 0,2.

Определить скорость продвижения фронта сорбции ПАВ (фронта ПАВ) и построить график распределения концентрации ПАВ в пласте в произвольный момент времени.

Р е ш е н и е. Для определения скорости фронта ПАВ и распре­деления их концентрации в пласте выведем уравнение материального баланса. Для этого выделим эле­мент объема пласта (рис.1) = xbh, в котором будем считать движение жидкостей происходящим вдоль оси Ох, и составим уравнение баланса объема ПАВ. Воду и водный раствор ПАВ будем считать несжимаемыми жидкостями.

q h q

b

x

Рис.12. Элемент прямолинейного пласта.

За время t в элемент V войдет объем ПАВ

За то время из элемента V выйдет объем ПАВ

В момент времени t в элементе объема пласта V было ПАВ

За время количество ПАВ изменилось и стало равным

Здесь — некоторая точка интервала , в которой концентрация ПАВ равна среднему значению концентрации в элементе объема V соответственно в моменты времени t и t + t.

Составляя уравнение баланса, получим

или

Деля обе части полученного уравнения на и устремляя и к нулю, получим

Вспоминая, что по условию задачи a(с) = с, и производя несложные преобразования, получим окончательную форму уравнения баланса водного раствора ПАВ в первоначально водонасыщенном пласте:

(1)

Для решения этого уравнения необходимо знать начальные и граничные условия. Сформулируем эти условия.

В начальный момент времени t = 0 в пласте отсутствует ПАВ, т. е.

(2)

Начиная с момента времени t = 0 в пласт через нагнетательную галерею закачивается водный раствор ПАВ с концентрацией закачки с = с⁰ .Таким образом, граничное условие будет иметь вид

(3)

Решение задачи (1)—(3) хорошо известно, результат определяют по формулам

(4)

Отсюда следует, что фронт сорбции ПАВ движется со скоростью

где — линейная скорость фильтрации,

м/сут.

Подставляя в выражение для скорости фронта сорбции ПАВ значение скорости фильтрации v и заданные по условию задачи значения пористости и коэффициента сорбции ПАВ, находим v_c:

0,277 м/сут.

Распределение концентрации ПАВ в пласте вдоль оси Ох в произвольный момент времени t соответствии с формулой (4) имеет вид, изображенный на рис. 13.

с

с⁰

v_c

0 x_c x

Рис.13. Зависимость концентрации ПАВ в случае линейной изотермы

сорбции ПАВ пористой средой от расстояния

Задача 2. В первоначально насыщенный пласт толщиной h=10м и пористостью m= 0,2 через нагнетательную галерею шириной b=300м закачивается водный раствор полиакриламида (ПАА) с концентрацией c⁰=0,001 и темпом закачки q=400 м³/сут. ПАА сорбируется пористой средой по закону Генри (изотерма сорбции Генри).

Найти распределение концентрации ПАА в пласте в любой момент времени tи скорость фронта ПАА v_c (скорость фронта сорбции ПАА). Движение жидкостей считать прямолинейным.

О т в е т:

Задача.3. В водонасыщенный участок пласта, имеющий r_к=200 м и толщину h=10 м и пористость m=0,2, через центральную скважину радиусом r_c=0,1м закачивается водный раствор ПАВ с концентрацией c⁰ и темпом закачки q=250 м³/сут. ПАВ интенсивно сорбируется пористой средой по закону Генри.

Определить закон продвижения фронта ПАВ (фронта сорбции ПАВ) и время подхода его к линии отбора, расположенной на расстоянии r=r_c=200 м от центральной нагнетательной скважины. Движение жидкостей в пласте считать плоско-радиальным, а сами жидкости — несжимаемыми.

Р е ш е н и е. Для определения скорости продвижения фронта ПАВ выведем уравнение, описывающее распределение концентрации ПАВ в пласте. Для этого поступим так же, как и в задаче 1, и выделим элемент объема пласта и рассмотрим баланс ПАВ в этом объеме (рис. 14).

r Dr

h

Рис.14. Схема элемента пласта при плоско-радиальной фильтрации

За время Dt в элемент войдет объем ПАВ

За то же время Dt из элемента через поперечное сечение с координатой r+Dr выйдет объем ПАВ

В момент времени t в элементе объема пласта DV содержалось ПАВ

За время Dt количество ПАВ изменилось и стало равным

Здесь — некоторая точка между сечениями r и , в которой концентрация равна среднему значению концентрации в выделенном нами элементе объема соответственно в моменты времени t и .

Составляя уравнение баланса, получим

или

Деля обе части полученного уравнения на DVDt и устремляя Dr и Dt нулю, получим (замечая, что при )

или с учетом того, что a(с) = с,

(5)

Это и есть дифференциальное уравнение баланса концейтрации ПАВ в водонасыщенном пласте.

Для его решения необходимо знать начальные и граничные условия. Сформулируем их. В начальный момент времени в пласте отсутствует ПАВ, т. е.

(6)

Начиная с момента времени t=0 в пласт закачивается водный раствор ПАВ с концентрацией c=c⁰. Поэтому граничное условие имеет вид

(7)

С помощью замены переменных

(8)

приведем условия задачи (5)-(7) к более удобному для решения виду. Вычисляя производные, входящие в уравнение (5), последовательно получим

Подставляя полученные соотношения в уравнение (5), будем иметь

(9)

Начальные и граничные условия примут вид

(10)

Решение задачи (9)—(10) хорошо известно и имеет вид

т. е. положение фронта ПАВ определяем с помощью уравнения

Переходя к размерным величинам, получим

Таким образом, положение фронта ПАВ можно определить по соотношению

(11)

Дифференцируя обе части уравнения (11) по t найдем скорость продвижения фронта ПАВ

(12)

Таким образом, скорость продвижения фронта ПАВ в случае плоско-радиальной фильтрации падает с течением времени по закону, формула которого имеет вид (12).

Найдем время подхода фронта ПАВ к линии отбора. Для этого подставим в соотношение (11) значение и, возведя обе части полученного равенства в квадрат, найдем

Задача 4. В семиточечный элемент пласта площадью S=100 000 м ² через центральную скважину закачивается водный раствор ПАВ с концентрацией с⁰ при темпе закачки q =500 м³/сут. ПАВ адсорбируется пористой средой по закону Генри

а(с)= ,

где а - константа Генри, равная 0,25. Толщина пласта h= 15 м, пористость m=0,25. Пласт полностью насыщен водой.

Рис.15. Семиточечный элемент пласта

Определить время подхода фронта ПАВ к добывающим скважинам, а также скорость продвижения этого фронта в начальный и конечный моменты времени. Движение жидкостей считать плоско-радиальным, а сами жидкости — несжимаемыми.

У к а з а н и е. За время подхода фронта ПАВ к добывающим скважинам (т. е. в конечный момент времени t*) считать время, к которому площадь круга, ограниченная фронтом ПАВ, будет равна площади семиточечного элемента.

О т в е т:

t*= 2,57 года; = 170 м/сут; =3м/сут.

Задача 5. В пласт, первоначально насыщенный водой с пористостью т = 0,2 и имеющий размеры l = 500 м, b= 300 м , h= 10 м, закачивается оторочка ПАВ с концентрацией с° = 0,001 при расходе q = 400 м³/сут. Оторочка проталкивается водой с тем же расходом q. ПАВ адсорбируется пористой средой по закону, формула которого имеет вид

На стадии проталкивания оторочки водой происходит десорбция ПАВ (т. е. обратное растворение части адсорбированного ПАВ в прокачиваемой воде).

где характеризует необратимо сорбированное породой количество ПАВ (рис. 16).

а(с)

2

а₀ 1

0 с₀ с

Рис. 16. График зависимости сорбции (1) и десорбции (2) ПАВ пористой породой (случай линейной изотермы сорбции и десорбции); а₀ – количество ПАВ, необратимо сорбированного породой.

Определить оптимальный объем оторочки ПАВ и время, необходимое для ее создания. Оптимальным считать такой объем оторочки, который исчезает при подходе фронта ПАВ к линии отбора. Движение жидкостей считать прямолинейным, а сами жидкости — несжимаемыми.

Р е ш е н и е. На стадии создания оторочки ПАВ решение известно (см. задачу 1):

где

Будем считать, что в момент времени t=t_* формирование оторочки закончилось и началась стадия проталкивания ее по пласту водой, закачиваемой с расходом q. Для определения скорости тыла оторочки ПАВ выведем уравнение, описывающее распределение

концентрации активных веществ на стадии проталкивания оторочки закачиваемой водой.

Выделим элемент объема пласта (см. рис. 12) и рассмотрим баланс объема ПАВ.

За время в элемент вошел объем ПАВ

За это же время из элемента вышло следующее количество ПАВ:

В момент времени t в элементе объема содержалось количество ПАВ

которое за время изменилось и стало равным

Составляя уравнение баланса, получим

или после подстановки полученных выражений для Q₁-Q₄ деления обеих частей уравнения на и устремления и к нулю будем иметь

Используя выражение для определения после несложных преобразований получим уравнение распределения концентрации ПАВ в пласте на стадии проталкивания оторочки водой в виде

(13)

Отметим, что в момент времени (момент окончания создания оторочки и начала проталкивания ее водой) во всех сечениях пласта, через которые прошел фронт оторочки ПАВ, концентрация ПАВ будет равна концентрации закачки. Таким образом, начальное условие будет иметь вид

(14)

Начиная с момента времени t=t_* оторочка будет проталкиваться водой, не содержащей ПАВ. Поэтому граничное условие примет вид

(15)

Решение задачи (13)—(15) хорошо известно. Результат получают по формулам

c

c₀

0 х_T(t) х_ф(t) x

Рис. 17. Зависимость концентрации ПАВ в пласте при проталкивании оторочки раствора водой (случай линейных изотерм сорбции и десорбции ПАВ) от расстояния. Движение прямолинейно-параллельное:

c — концентрация ПАВ, x_ф и х_T ответственно положение фронта и тыла оторочки ПАВ в момент времени t

где - скорость тыла оторочки, определяемая по соотношению

Характерное распределение концентрации ПАВ в пласте показано на рис. 17.

Найдем время создания оторочки. Из определения оптимального объема оторочки имеем

Решая эти два уравнения относительно , получим

Объем оторочки ПАВ при этом составит

Таким образом, для условий нашей задачи оптимальным является объем оторочки ПАВ, равный 15 % порового объема пласта .

Задача 6. В водонасыщенный пласт толщиной h =5 м и пористостью т = 0,27 через нагнетательную скважину радиусом r_c = 0,1м, расположенную в центре пласта, закачивается оторочка водного раствора полиакриламида (ПАА) концентрацией c0= 0,002 при расходе q = 250 м³/сут. По окончании создания оторочки она проталкивается по пласту водой, закачиваемой в нагнетательную скважину с тем же расходом q. ПАА адсорбируется пористой средой по закону, формула которого имеет вид

На стадии проталкивания оторочки ПАА водой происходит десорбция полиакриламида по закону, формула которого имеет вид

где = 0,05 — коэффициент десорбции; необратимо сорбированное породой количество полиакриламида.

Отбор жидкости производится через добывающую галерею, расположенную на расстоянии r_к= 200 м от центра нагнетательной скважины.

Вывести формулу для расчета оптимального объема оторочки ПАА и определить объем оторочки и количество ПАА, необходимое для создания такой оторочки.

У к а з а н и е. Пользуясь решениями, приведенными в задачах 3 и 5, получить выражения для скоростей движения фронта и тыла оторочки ПАА.

О т в е т:

Задача 7. Определить время t_* закачки в пласт водного раствора полиакриламида (ПАА) для создания оторочки ПАА оптимального объема. Условия задачи те же, что и задачи 6.

О т в ет: t_*= 203,6 сут.