Волновые пакеты. Соотношения неопределённостей

Рассматривая суперпозицию синусоидальных волн, мало отличающихся друг от друга по частотам , можно построить, так называемый, волновой пакет, то есть пакет с определённой длиной волны Δx и определённой длительностью Δt.2) Значит, можно получить такое решение [уравнения Шрёдингера], которое называется волновым пакетом. Он ограничен в пространстве и во времени.

Синусоидальная волна имеет скорость, называемую фазовой, . Волновой пакет строится из набора волн с частотами в интервале и волновыми числами . Скорость электромагнитной волны в вакууме не зависит от частоты, но, если есть дисперсия, скорость зависит от частоты. В диспергирующей среде волновой пакет расплывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга, весь пакет идёт с групповой скоростью

в окрестности центрального волнового числа k₀.1)

У нас для волн, представляющих амплитуды вероятностей есть дисперсия.

И здесь мы снова подбираемся к представлению, почему возможна классическая механика. Если мы имеем решение в виде волнового пакета, это означает, что частица находится где-то в пределах волнового пакета, снаружи вероятность равна нулю, и этот волновой пакет движется с групповой скоростью . Но это и есть классическая скорость частицы! Значит, пуля, обычная пуля, она просто характеризуется очень узким компактным волновым пакетом. В его пределах сидит центр масс пули, и этот пакет много меньше фактических размеров пули, и поэтому она и выглядит как локализованный объект. Но для электрона этот волновой пакет уже даёт большую неопределённость.

Мы видели, что решением уравнения Шрёдингера для свободной частицы является функция , она описывает состояние частицы с импульсом и энергией , при этом , это означает, что вероятность обнаружить частицу в любой точке пространства одинакова.

Строго монохроматическая волна – это состояние экзотическое. Таких волн в природе нет. Дальше математический факт: общее решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы может быть получено суперпозицией таких решений. Из теории рядов Фурье известно, что, взяв суперпозицию таких синусоидальных функций, можно построить функцию отличную от нуля лишь в ограниченной области пространства и равную нулю во всём остальном пространстве, так называемый волновой пакет.

Пусть вдоль оси x идёт такой пакет пространственной протяжённости Δx и ограниченный во времени. Если частица находится в состоянии такой волновой функции (вероятность обнаружения частицы отлична от нуля где-то только в пределах этого пакета), то мы видели, что этот пакет движется с групповой скоростью .

Факт математический: если мы хотим построить функцию отличную от нуля в интервале Δx, то мы должны суммировать экспоненты с различными числами k, но отношение должно быть порядка единицы: ~1. Если мы слепили этот пакет из функций с различными числами k, то это означает, что там присутствуют различные импульсы (каждому k соответствует свой импульс), значит в состоянии, которое представляется волновым пакетом, импульс не имеет определённого значения, и выполняются такие соотношения:

(7)

Интерпретация такая: Δx – неопределённость в x-ой координате, – неопределённость в x-ой составляющей импульса. Утверждается, что эти неопределённости связаны, то есть нельзя одновременно сделать их сколь угодно малыми, как бы мы не изготовляли состояния, мы никогда не добьёмся того, что неопределённости в координатах и импульсе будут сколь угодно малыми. Мы, например, можем изготовлять состояния с всё более точными значениями импульса, тогда значения координат будут делаться всё более неопределёнными. Это называется соотношения неопределённости.

Эти соотношения, так сказать, фирменный знак квантовой механики, вот, формула – это фирменный знак теории относительности, а это – квантовой механики. В этих соотношениях увязаны корпускулярные и волновые свойства. Если бы частицы вели себя так, как им предписано в классической механике, то это были бы объекты, которые имеют точное значение координат и точное значение импульса, волна не может иметь точного значения координат, волна размазана в пространстве всегда, и, значит, эти свойства частиц стыкуются более-менее вот в этих соотношениях. То есть в соотношениях (7) в концентрированном виде выражается всё это необыкновенное поведение частиц в атомных масштабах.