Учет массы упругой системы при колебаниях.

Если колеблющаяся система, несущая груз Q, обладает довольно значительной распределенной массой (число степеней свободы, следовательно, велико), то упрощенные расчеты, будут иметь уже значительную погрешность. В этом случае дифференциальные уравнения движения составляются с учетом массы системы. При решении подобного рода задач удобнее исходить не из условий равновесия, а из закона сохранения энергии.

Полагая, что количество энергии, сообщенное системе при выведении ее из положения равновесия и представляющее собой сумму кинетической и потенциальной энергии груза и упругой системы, при свободных колебаниях остается постоянным, получаем уравнение

(4)

Это уравнение показывает, что при колебаниях происходит непрерывный процесс преобразования энергии из одного вида в другой, не сопровождающийся какими-либо потерями энергии. Когда упругая система достигает одного из крайних положений, в котором скорость колебательного движения равна нулю, а следовательно, равна нулю и кинетическая энергия (T=0), потенциальная энергия груза и системы достигает наибольшего значения ; наоборот, в положении равновесия и .

Заметим, что принцип, положенный в основу этого уравнения, применим лишь для систем с одной степенью свободы, так как закон сохранения энергии не учитывает обмена энергии, происходящего в системах с несколькими степенями свободы. Таким образом, решение задачи о колебаниях системы с большим числом степеней свободы здесь сводится к простейшей задаче и мы сможем приближенно найти лишь одну (первую) частоту свободных колебаний.

Рассмотрим теперь некоторые примеры использования исходного уравнения.

В качестве первого примера исследуем колебания груза Q, подвешенного к нижнему концу призматического стержня длиной l, площадью поперечного сечения F и удельным весом (Рис. 4). Выведенный из положения равновесия и затем предоставленный самому себе груз начнет совершать продольные колебания около положения равновесия. Составим выражения для U и Т колеблющейся системы: груз — стержень.

Рис.4. Расчетная схема колебаний подвешенного груза

Потенциальная энергия системы по сравнению с положением равновесия изменится на , где — потенциальная энергия системы в начальный момент (в положении равновесия), a — в момент t.

Потенциальную энергию груза Q в начальный момент обозначим через ; потенциальная энергия стержня в тот же момент равна , где — статическая деформация стержня от груза Q.

Таким образом,

В момент t, когда груз переместится на расстояние х и стержень получит такую же дополнительную деформацию х, потенциальная энергия груза уменьшится на Qx, а сила упругого сопротивления стержня и статическая деформация его увеличатся в отношении . Поэтому

(5)

Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии груза и стержня . Кинетическая энергия груза . При вычислении кинетической энергии стержня учтем, что в некоторый момент t скорость груза и нижнего конца стержня равна х', а верхнего — нулю. Скорости промежуточных сечений будут иметь значения, заключающиеся между этими двумя.

Предположим, что при колебаниях перемещения всех сечений стержня по отношению к закрепленному концу меняются по тому же закону, что и при статическом растяжении, т. е. пропорционально расстоянию от закрепленного сечения. Таким образом, если нижнее сечение стержня переместилось на величину х, то сечение, отстоящее от места защемления на , переместится на величину , скорость этого сечения будет равна . Живая сила элемента стержня длиной , отстоящего на от закрепленного конца, будет равна:

Кинетическая энергия всего стержня будет равна сумме величин , т.е.

Таким образом, живая сила стержня равна живой силе груза, имеющего массу , т. е. равную трети массы стержня, и двигающегося с той же скоростью х', что и груз Q. Полная же кинетическая энергия системы груз — стержень будет:

Подставляя Т и выражение U (4) в уравнение (5), дифференцируем последнее по t и находим:

или

Здесь — статическая деформация от груза . Полученное дифференциальное уравнение движения с учетом массы колеблющегося стержня отличается от полученного ранее уравнения только величиной множителя при х и полностью совпадает с ним, если пренебречь массой стержня. Поэтому поправка на массу стержня, которую нужно ввести в предыдущие расчеты, состоит в том, что при определении частоты свободных колебаний стержня статическая деформация его вычисляется не от груза Q, но от груза Q, сложенного с одной третью веса стержня. Таким образом, учет массы колеблющегося стержня уменьшает частоту свободных колебаний и увеличивает их период. Величину называют приведенной массой стержня.