МНОГОГРАННИКИ.

КРИВІ ЛІНІЇ.

ПОВЕРХНІ.

План.

1. Побудова проекцій многогранників.

2. Переріз многогранника площиною.

3. Перетин многогранника з прямою.

4. Способи утворення кривих ліній.

5. Класифікація кривих ліній.

6. Способи утворення поверхонь.

7. Лінійчаті поверхні.

8. Поверхні обертання.

9. Гвинтові поверхні.

1. Многогранником називається тіло, яке обмежене плоскими многокутниками. Елементами многогранника є: площини (грані), ребра (лінії перетину двох граней), вершини (спільні точки декількох граней).

Рис.6.1.

У правильних опуклих многогранників усі ребра, грані, плоскі двогранні та просторові кути дорівнюють один одному.

Різновидності правильних многогранників:

1) Тетраедр (чотиригранник) – грані рівні трикутники;

2) Октаедр (восьмигранник) – грані рівні трикутники;

3) Ікосаедр (двадцятигранник) – грані рівні трикутники;

4) Гексаедр (шестигранник) – грані квадрати;

5) Додекаедр (дванадцятигранник) – грані правильні п’ятикутники.

Навколо всіх правильних многоранників можна описати сферу.

Пірамідою (рис.6.2-б) називається многогранник у якого всі бічні ребра перетинаються в одній точці.

Призмою(рис.6.2.-а) називається многогранник у якого всі бічні ребра паралельні між собою. Основами призми є рівні многокутники. Якщо основи призми перпендикулярні бічним ребрам, то призма називається прямою. Якщо цієї умови немає – призма похила. Побудова проекцій многогранника зводиться до побудови його сітки.

а) б)

Рис.6.2. Побудова проекцій многогранників

Комплексне креслення призм, пірамід і інших многогранників краще виконувати з тих площин проекцій, на які їх основи проецюються в натуральну величину.

При розв’язанні різних задач часто необхідно визначити на поверхні многогранника точку чи відрізок прямої. Ця задача полегшується, якщо точка чи відрізок знаходяться у проецюючих гранях. Наприклад: бічні грані прямої призми (рис. 6.2-а). У випадку загального положення граней виконують такі ж самі побудови, як при визначенні точки чи відрізка прямої, що належить площині загального положення.

Так, якщо задані фронтальні проекції K₂, M₂точок, що лежать на поверхні призми (рис. 6.2-а), то горизонтальні проекції цих точок визначаються просто. Бічні грані призми є горизонтально-проецюючими, тому горизонтальні проекції всіх точок, що лежать у цих гранях збігаються зі слідами-проекціями відповідних граней.

Якщо точки E і F лежать на бічних гранях піраміди (рис. 6.2-б), то для визначення відсутніх проекцій точок, необхідно в гранях через ці точки провести довільні прямі, визначити положення проекцій цих прямих на проекціях граней многогранника, а потім визначити положення проекцій точок E і F на проекціях відповідних прямих, яким вони належать.

2.При перерізі многогранника площиною утворюється плоска фігура, що називається перерізом. Перерізом многогранника є многокутник вершинами якого служать точки перетину ребер многогранника з січною площиною, а сторонами є лінії перетину цієї площини з гранями многогранника.

Розрізняють два способи побудови плоского перерізу многогранника:

1) знаходження вершин многокутника перерізу (спосіб ребер);

2) знаходження сторін многокутника перерізу (спосіб граней).

У першому випадку побудова зводиться до багатократного розв'язання задачі на знаходження точки перетину прямої з площиною (перша позиційна задача), у другому випадку – на знаходження лінії перетину двох площин (друга позиційна задача). Можлива комбінація в використанні цих двох способів.

Рис.6.3. Переріз многогранника проецюючою площиною

Розв'язання задачі на визначення перерізу многогранника площиною значно спрощується, якщо січна площина займає проецююче положення. У цьому випадку одна з проекцій перерізу – відрізок прямої – належить сліду-проекції січної площини.

Визначення другої проекції лінії перерізу зводиться до розв'язання раніше розглянутої задачі на побудову відсутньої проекції точки, що належить многограннику, якщо відома хоча б одна її проекція.

Рис.6.4. Переріз многогранника площиною

На відміну від попередньої задачі переріз призми площи-ною S на площини проекцій П₁і П₂не проецюється у вигляді прямої лінії.

Але, оскільки бічна поверхня призми є горизонтально-проецюю-ча (три бічні грані є площинами, перпендику-лярними до П₁), то горизонтальна проекція перерізу призми площи-ною S збігається з горизонтальною проекці-єю призми. Внаслідок цього горизонтальні проекції вершин перерізу збігаються з горизонтальними проекціями ребер призми, а горизонтальні проекції сторін перерізу – з горизонтальними проекціями граней призми.

Задачу розв'язуємо способом граней, двічі розв'язуючи задачу про перетин двох площин, одна з яких є горизонтально-проецюючою.

Приклад 3. Побудувати проекції перерізу трикутної призми площиною S(m Ç n) - загального положення (рис. 6.5).

Розв'язання задачі ускладнюється тим, що на П₁і П₂переріз не проецюється у вигляді відрізка прямої, а бічна поверхня призми не є проецюючою – бічні грані займають загальне положення.

В заданому випадку необхідно використати спосіб ребер: послідовно побудувати точки перетину бічних ребер з площиною загального положення. Для цього через бічні ребра проводимо допоміжні площини (в даному випадку – горизонтально-проецюючі Q, L, W) – тричі розв'язуємо задачу про перетин прямої з площиною.

Рис.6.5. Переріз трикутної призми площиною

Рис.6.6. Побудова точки перетину прямої зповерхнею піраміди

Приклад 1.Визначити точки перетину прямої l з поверхнею піраміди.

1. Через пряму l проводимо фронт.-проецюючу площину S – l₂ º S₂.

2. Будуємо проекції перерізу піраміди площиною: 1₂,2₂,3₂®1₁,2₁,3₁.

3. Визначаємо точки перетину прямої l з побудованим перерізом – точки M і N (M₁,N₁® M₂, N₂).

4. Визначаємо видимість прямої на П₁і П₂.

Якщо проекція прямої не перетинається з проекцією перерізу, то пряма не перетинається з поверхнею.

Рис.6.7. Побудова точки перетину прямої з поверхнею похилої призми

1. Через пряму l проводимо площину S загального положення S (m Ç l). Для цього на прямій l беремо довільну точку К. Через цю точку проводимо пряму m, яка паралельна бічним ребрам призми (рис. 6.7).

2. Будуємо горизон-тальний слід площини загального положення S.

m Ç П₁= 1.

l Ç П₁= 2.

1-2 – горизонтальний слід площини S.

3. З точок перетину горизонтального сліду площини S з основою призми (точки 3₁і 4₁) проводимо лінії, паралельні бічним ребрам призми.

Таким чином визначається горизонтальна проекція перерізу призми площиною S.

Ця проекція перерізу перетинається з проекцією прямої l₁в точках M₁і N₁, які є горизонтальними проекціями точок перетину прямої l з поверхнею похилої призми.

Якщо проекція сліду площини не перетинається з проекцією основи поверхні, то пряма не перетинається з поверхнею.

4. Обрисами багатьох інженерних конструкцій і споруд, деталей машин і механізмів є криві лінії. Кривими лініями складаються каркаси і сітки поверхонь.

Будь-яка крива лінія може бути отримана:

1) рухом точки у просторі (рис. 6.8-а);

2) перетином кривих поверхонь площиною (рис. 6.8-б);

3) взаємним перетином двох поверхонь, з яких хоча б одна крива (рис. 6.8-в).

а) б) в)

Рис.6.8. Способи утворення кривих ліній

5. Плоскими називаються криві лінії, всі точки яких лежать в одній площині.

Ознакою плоскої кривої на епюрі є належність проекцій всіх точок кривої однойменним проекціях прямих, які належать площині (рис. 6.9).

Рис.6.9. Плоскі криві лінії

Тобто, за двома ортогональними проекціями кривої неможливо одразу відповісти на запитання, плоскій чи просторовій кривій відповідають задані проекції. Необхідно з'ясувати, чи належать усі точки кривої одній площині. Якщо належать, крива – плоска, якщо не належать – просторова.

Просторовими називаються криві лінії, всі точки яких не належать одній площині (рис 6.10-а).

а) б)

Рис.6.10. Просторові криві лінії

Щоб визначити, плоска чи просторова крива лінія m(m₁, m₂) задана на епюрі (рис. 6.10-б), необхідно:

1) позначити на кривій m три довільні точки А, В, С, які визначають собою площину;

2) взяти на кривій m четверту довільну точку D і перевірити, чи належить вона цій площині.

Виявилось, що точка D площині АВС не належить.

Крива лінія m(m₁, m₂) просторова.

Алгебраїчний порядок кривої визначає степінь її рівняння.

Геометричний порядок плоскої кривої дорівнює найбільшій можливій кількості точок перетину її з прямою лінією, а порядок просторової кривої – кількості точок перетину її з площиною загального положення.

Основні властивості проекцій плоских кривих:

1) порядок плоскої алгебраїчної кривої при паралельному проеціюванні не змінюється;

2) нескінченно віддалені точки кривої проецюються в нескінченно віддалені точки її проекції;

3) дотична до кривої проецюється в дотичну до її проекції;

4) число точок перетину плоских кривих зберігається при проеціюванні;

5) проекції точок перетину знаходяться на спільних лініях зв’язку.

Коло є найбільш поширеною в техніці плоскою кривою. У загальному випадку коло проецюється в еліпс, велика і мала осі якого є проекціями взаємно перпендикулярних діаметрів кола.

Проекційні властивості просторових кривих ліній такі ж самі як і плоских кривих. Але є і деякі відмінності. Так, наприклад, просторова крива лінія проецюється тільки в плоску криву. Зображення точок на проекціях кривих ліній може не відповідати положенню самих точок.

З усіх просторових кривих ліній, що використовуються в техніці, найбільш розповсюджені гвинтові лінії.

Циліндричною гвинтовою лінією називається лінія, яка розташована на поверхні циліндра та утворена рівномірним рухом точки по твірній, що рівномірно обертається навколо осі циліндра.

Висота циліндра h, на поверхні якого точка здійснює один поворот навколо осі, називається кроком гвинтової лінії.

Рис.6.11. Побудова циліндричної гвинтової лінії

Гвинтові лінії можуть бути правими і лівими. Правою називається та гвинтова лінія, яка на циліндрі піднімається зліва вгору направо.

Побудову циліндричної гвинтової лінії показано на рис. 6.11.

Задані діаметр гвинтової лінії Ø і крок p.

1. Ділимо коло основи циліндра і крок на однакову кількість рівних частин.

2. Проводимо через перший поділ кроку гвинтової лінії 1 горизонтальну пряму, а через перший поділ 1₁кола – вертикальну пряму.

3. Перетин проведених прямих визначить положення фронтальної проекції 1₂точки, яка перемістилася з початкового положення 0 в положення 1, тобто на одну восьму кроку h.

4. Інші точки 2₂, 3₂– 8₂, які належать фронтальній проекції гвинтової лінії, будуємо аналогічно.

5. Побудовані на П₂точки з'єднуємо плавною кривою.

Рис.6.12. Побудова конічної гвинтової лінії

Побудову конічної гвинтової лінії виконано на рис. 6.12.

Розділимо крок і горизонтальну проекцію конуса на 8 рівних частин.

1. Побудуємо проекції восьми твірних конуса.

2. З першого ділення на П₂проведемо горизонтальну лінію до перетину з першою твірною і позначимо 1₂.

3. Аналогічно будуємо фронтальні проекції всіх восьми положень точки і обводимо їх плавною кривою лінією.

4.Проводячи лінії зв'язку від кожної побудованої на П₂точки до горизонтальної проекції відповідної твірної, визначимо положення горизонтальних проекцій точок і обводимо їх плавною кривою лінією.

6.За різноманітністю форм і властивостей, за своїм значенням при формуванні різних геометричних фігур, за роллю, яку вони відіграють в науці, техніці, архітектурі, поверхні не мають собі рівних серед інших геометричних форм. Світ поверхонь безмежний – від елементарної площини до найскладніших форм криволінійних поверхонь, які не піддаються математичному опису. І якою б складною не була поверхня, її необхідно уміти зображати на кресленні, де повинні бути відображені всі її геометричні властивості.

Розрізняють наступні способи утворення поверхонь:

Рис.6.13. Гіперболічний параболоїд

При цьому поверхня розглядається як геомет-ричне місце точок, координати яких задо-вольняють заданому рівнянню.

Наприклад = 2Z (гіперболічний параболоїд) (рис. 6.13).

2) Каркасний спосіб.

а) б) Рис.6.14. Каркас

Точковим каркасом називається сукупність точок на поверхні, заданих таким чином, щоб можна було уявити форму поверхні в усіх її частинах (рис. 6.14-а).

Лінійчатим каркасом називається сукупність ліній, що лежать на поверхні. За допомогою ліній, що лежать на поверхні, зображуються обтічні поверхні літаків, морських суден, легкових автомобілів, лопаток парових і газових турбін, літаків, а також поверхня Землі (рис. 6.14-б).

3) Кінематичний спосіб.

При цьому поверхня розглядається як геометричне місце послідовних положень ліній (твірних), які рухаються у просторі по деякому закону (по напрямним).

Рис.6.15. Кінематичний спосіб утворення поверхні

Закон руху твірної може бути заданий кількома лініями, через які проходить твірна. Ці лінії називаютьсянапрямними(рис. 6.15).

Визначником поверхні називається сукупність незалежних геометричних елементів, що визначають дану поверхню. Наприклад, визначником площини є три точки, що не лежать на одній прямій, визначником поверхонь обертання є вісь поверхні та твірна.

Основною ознакою, яку покладено в основу класифікації поверхонь, є форма твірної.

Рис.6.16. Загальна класифікація поверхонь

Поверхні, твірні яких – прямі лінії, називаються лінійчатими.

Поверхні, твірні яких – криві лінії, називаються криволінійними.

Поверхні, утворені поступальним рухом твірної лінії називаються поверхнями паралельного переносу.

Поверхні, утворені обертанням твірної лінії називаються поверхнями обертання.

Поверхні, утворені гвинтовим переміщенням твірної, називаються гвинтовими поверхнями.

В залежності від вигляду твірної (пряма чи крива) поверхні паралельного переносу, обертання і гвинтові можуть бути віднесені як до лінійчатих, так і до криволінійних.

7. В залежності від характеру руху твірної отримуємо різні типи лінійчатих поверхонь.

1. Конічні і циліндричні поверхні.

Конічна поверхня однозначно визначається прямолінійною твірною, кривою напрямною і точкою S. При цьому прямолінійна твірна l перетинає напрямну m і всі прямолінійні твірні конічної поверхні перетинаються в одній власній точці S (рис.6.17-а).

Визначник конічної поверхні - Q(l, m, S).

а) б)

Рис.6.17. Конічна поверхня

Циліндрична поверхня утворюється у тому випадку, коли всі прямолінійні твірні перетинаються у невласній точці S_¥, тобто вони паралельні між собою. Визначник циліндричної поверхні – Q(l, m, S_¥).

На рис. 6.17-б показане утворення довільної циліндричної поверхні та задавання циліндричної поверхні на епюрі Монжа.

Рис.6.18. утворення поверхні

В машинобудуванні знаходить використання частковий випадок торсової поверхні, у якої ребром звороту є циліндрична гвинтова лінія. Одержану за допомогою цієї лінії поверхню називають гвинтовим торсом.

Розглянуті лінійчаті поверхні відносяться до таких поверхонь, які розгортуються (у цих поверхонь суміжні твірні паралельні або перетинаються).

Всі інші лінійчаті поверхні є такими, що не розгортуються.

3. Лінійчаті поверхні з площиною паралелізму.

До цього типу лінійчатих поверхонь відносяться поверхні, всі твірні яких паралельні постійній площині W, яку називають площиною паралелізму.

Циліндроїд– лінійчата поверхня , яка має площину паралелізму і дві криволінійні напрямні (рис. 6.19-а).

Коноїд – лінійчата поверхня, яка має площину паралелізму, одну криволінійну, а другу прямолінійну напрямні (рис. 6.19-б).

Гіперболічний параболоїд (коса площина) – поверхня з двома мимобіжними прямолінійними напрямними, при цьому твірна залишається паралельною площині паралелізму (рис. 6.19-в).

а) б) в)

Рис.6.19. Лінійчаті поверхні з площиною паралелізму

8. В техніці, зокрема в машинобудуванні, поверхні обертання знаходять широке використання. Це пояснюється розповсюдженістю обертального руху і простотою обробки поверхонь обертання на верстатах.

Поверхнею обертання називається поверхня, яка утворюється при обертанні будь-якої твірної (прямої, плоскої або просторової кривої) навколо нерухомої осі (рис. 6.20-а).

До визначника поверхні обертання входять твірна m та вісь обертання ί: Q(m, ί).

Точки твірної кривої m описують навколо осі ί кола: кола, утворені в результаті перетину поверхні обертання площинами, перпендикулярними до осі поверхні обертання, називаються паралелями.

Паралель, менша за дві сусідні з обох боків, називається горлом.

Паралель, більша за дві сусідні з обох боків, називається екватором.

а) б)

Рис.6.20. Поверхні обертання

При задаванні поверхні обертання на кресленні (рис. 6.20-б) звичайно вказують проекції її осі, головного меридіана та екватора (інколи показують коло, по якому поверхня обертання перетинається з площиною проекцій). При цьому вказують тільки горизонтальну проекцію екватора (або паралелі) і фронтальну проекцію головного меридіана.

Властивості поверхонь обертання.

1. Поверхні обертання мають властивість зміщування. Обертаючись навколо своєї осі, вони можуть зміщуватись без деформації вздовж самої себе.

2. Якщо меридіан поверхні обертання проходить через дві точки поверхні, то він є найкоротшою лінією між цими точками. Всі меридіани рівні між собою.

3. Кожна з паралелей поверхні обертання перетинає всі меридіани під прямим кутом.

4. Кожна з нормалей до поверхні обертання перетинає вісь поверхні.

При обертанні кривої другого порядку навколо її осі утворюється поверхня обертання другого порядку.

1. Сфера – якщо твірна лінія є коло, а вісь обертання збігається з її діаметром (рис. 6.21-а).

2.Еліпсоїд обертання утворюється обертанням еліпса навколо його осі (рис. 6.21-б).

3.Параболоїд обертання утворюється обертанням параболи навколо її осі (рис. 6.21-в).

а) б) в)

Рис.6.21. Поверхні обертання другого порядку

4.Однопорожнинний гіперболоїд обертання утворюється обер-танням гіперболи навколо її уявної осі (рис 6.22-а).

5. Двопорожнинний гіперболоїд обертання утворюється обертанням гіперболи навколо її дійсної осі (рис. 6.22-б).

а) б)

Рис.6.22. Гіперболоїди обертання

Тор – поверхня 4-го порядку – утворена обертанням кола навколо осі, яка не проходить через центр кола (рис. 6.23).

В залежності від співвідношення величин R – радіуса твірного кола і відстані t від центра кола до осі обертання поверхні тора поділяють на відкритий тор (або кільце) при R < t– коло не перетинає вісь обертання та закритий тор при R > t – коло перетинає вісь обертання або дотикається до неї.

Рис.6.23. Торова поверхня

9. Поверхня називається гвинтовою, якщо вона утворюється гвинтовим переміщенням твірної (рис. 6.24).

В залежності від форми твірної окремі види гвинтових поверхонь можуть бути віднесені як до лінійчатих, так і до криволінійних. Їх відокремлення пов'язане з великим значенням гвинтових поверхонь у техніці і, особливо, у машинобудуванні. Визначник гвинтової поверхні має вигляд: Q(g, ί), де g – твірна (крива або пряма), ί – вісь гвинтової лінії. Твірна g здійснює гвинтове переміщення, яке можна розглядати, як композицію з двох переміщень: паралельного переміщення уздовж осі ί та обертання навколо цієї осі.

Гвинтова лінія постійного кроку, побудована на поверхні прямого кругового циліндра, називається гелісою. Тому лінійчаті гвинтові поверхні, напрямна яких – геліса, називаються гелікоїдами. В залежності від величини кута нахилу твірної до осі гелікоїди бувають прямими, якщо цей кут дорівнює 90°, і косими(похилими), якщо кут – довільний, відмінний від 0 і 90°.

Рис.6.24. Побудова та розгортка гвинтової поверхні

Запитання для самоперевірки

1. Що називається призмою? Чим задається призматична поверхня?

2. Що називається пірамідою? Чим задається поверхня піраміди?

3. Як визначити проекції точок, що лежать на поверхні многогранника?

4. Що розуміється під назвою "тетраедр"?

5. Як будується фігура, що отримується при перетині призми чи піраміди площиною?

6. Як будуються точки перетину призми чи піраміди прямою лінією (точки входу і виходу)?

7. Як перерізається призма площиною, яка паралельна до бічних ребер?

8. Як перерізається піраміда площиною, яка проходить через вершину піраміди?

9. Дайте визначення просторової і плоскої кривої.

10. Як визначити порядок кривої, якщо крива (плоска чи просторова) задана графічно?

11. Назвіть "особливі " точки кривої і дайте їх визначення.

12. Що таке дотична площина?

13. Що таке крок гвинтової лінії?

14. Як побудувати на кресленні циліндричну гвинтову лінію?

15. Як побудувати на кресленні конічну гвинтову лінію?

16. В чому полягає суть утворення поверхонь кінематичним способом?

17. Що називається каркасом поверхні?

18. Що таке визначник поверхні?

19. Дайте загальну схему класифікації поверхонь.

20. Дайте визначники різних видів лінійчатих поверхонь.

21. Як утворюються поверхні обертання?

22. Вкажіть основні властивості поверхонь обертання.

23. Як утворюються гвинтові поверхні?

24. Дайте визначення просторової і плоскої кривої.

25. Як визначити порядок кривої, якщо крива (плоска чи просторова) задана графічно?

26. Назвіть "особливі " точки кривої і дайте їх визначення.

ЛЕКЦІЯ 7-8.

ПЕРЕРІЗ КРИВОЇ ПОВЕРХНІ ПЛОЩИНОЮ.

ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ.