V. Демпфирование.

Общий вид динамического уравнения движения:

(1)

(2)

где ξ – относительный коэффициент демпфирования.

Общее решение дифференциального уравнения (2) будем искать в виде суммы вынужденной и свободной составляющих:

Вначале определим свободную составляющую решения. Для этого запишем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2):

и найдем его корни:

В случае уравнение (2) приобретает вид:

,

а корни его характеристического

уравнения:

Таким корням характеристического уравнения соответствует следующее решение дифференциального уравнения:

Константы А и В можно определить из начальных условий:

Подставляя найденные значения констант в выражение для x(t), получим свободную составляющую решения дифференциального уравнения (2):

Вынужденная составляющая решения уравнения (2) определяется выражением:

x(t)

t

В случае корни характеристического уравнения определяются соотношением:

Проанализируем последнее выражение:

В случае корни комплексно-сопряженные.

В случае корни действительные, равные.

В случае корни действительные, не равные.

Рассмотренным значениям относительного коэффициента демпфирования соответствуют следующие свободные составляющие решения уравнения (2):

;

В случае переходный процесс колебательный:

X(t)

X_УCT

t

Т

В случае переходный процесс апериодический, причем с увеличением демпфирования замедляется темп процессов:

Х_УСТ

0 t

При наличии демпфирования

, где

, .

1. Критерии выбора относительного коэффициента демпфирования.