Створеного еталонного контуру

Контури АР Крим та Кіровоградської області також створено на основі топографічних карт масштабу 1:200 000. Вони налічують, від-повідно, 9 390 та 3 074 точки.

Як вихідний враховано територіальний принцип організації сис-теми ведення земельного кадастру. На його вимогу треба розглядати окремі об'єкти кадастрового картографування, кожен із яких має бути картографований одним масивом. Після детального аналізу для дослід-жень були вибрані кілька діючих картографічних проекцій.

1. Варіанти проекцій, що вибрані для аналізу спотворень у межах
території України:

а) проекція Гаусса-Крюгера - система координат СК-63 (район X
розширений на всю територію України, 3-градусні зони з 1-ї по 7-му);

б) проекція Гаусса-Крюгера - система координат СК-42 (3-градусні
зони - з 7-ої по 13-ту).

2. Варіанти проекцій, що вибрані для аналізу спотворень на тери-
торії АР Крим та Кіровоградської областей:

а) проекція Гаусса-Крюгера — система координат СК-63 (розши-
рена 4-та зона);

б) проекція Гаусса-Крюгера — система координат СК-42 (розши-
рена 6-та зона).

3. Варіанти проекцій, що вибрані для аналізу спотворень на тери-торії Київської області:

а) проекція Гаусса-Крюгера — система координат СК-63 (розши-
рена 3-тя зона);

б) проекція Гаусса-Крюгера — система координат СК-42 (розши-
рена 6-та зона).

При цьому стандартні зони були розширені таким чином, щоб те-риторія області знаходилась в одній зоні. Крім того, досліджувалися точнісні характеристики місцевих систем координат, утворених на ос-нові проекції Гаусса-Крюгера.

Дослідження виконувались за двома розділами:

- геоінформаційний аналіз покриття вказаними зонами в проекції Гаусса-Крюгера;

- аналіз спотворень довжин ліній і площ у проекції Гаусса-Крюгера в стандартних зонах і розширених зонах.

При визначенні критеріїв точнісних оцінок брались до уваги тех.-нічні характеристики діючих нормативних документів Держкомзему та Укргекодезкартографії.

3.3. Геоінформаційний аналіз покриття об'єктів картографування зонами картографічних проекцій

Розподіл лінійних і площинних спотворень по території об'єктів картографування визначається кількістю зон, якими вони покриті, і просторовим розподілом зон на території цих об'єктів. При цьому об'єкти першого рівня адміністративно-територіального устрою Украї-ни можна розділити на три групи залежно від кількості триградусних зон, якими відповідно покрито їх території (в умовах території України це 1 або 2 зони). Оскільки просторові відношення триградусних зон і територій об'єктів картографування теж залежать від конфігурації самих об'єктів, то доцільно визначити їх протяжність у широтному на-прямку dL як відстань у градусах між крайніми точками об'єктів кар-тографування по географічній довготі. Числові значення на рис. 3.2 відповідають протяжності територій областей України у широтному напрямку dL в градусах. Для більшості об'єктів адміністративно-те-риторіального поділу України першого рівня (15 із 25) dL < 3°, для восьми областей dL > 3°, а для Криму та Кіровоградської області ця характеристика більша 4°.

Для зон в СК-63, як видно з картосхеми (рис. 3.2а), лише трьом областям (Рівненській, Закарпатській та Хмельницькій) "поталанило",

Рис. 3.2. Картосхеми розподілу адміністративно-територіальних утворень України за кількістю зон: а) зони СК-63; б) триградусні зони проекції Гаусса-Крюгера

оскільки їх території розміщуються тільки в одній зоні СК-63. Автоном-на Республіка Крим та 21 область знаходяться в двох зонах СК-63.

Узагальнені характеристики покриття території України зонами

СК-63 наведені в табл. 3.1. Вони показують значну топологічну неуз-годженість зонного покриття СК-63 з конфігурацією території об'єктів картографування, оскільки більшість об'єктів (12 з 15), що мають , покриття двома триградусними зонами, що становить 43,85% площі території країни. Невідповідність кількості триградусних зон

СК-63 протяжності об'єктів спостерігається для 13 об'єктів, що становить 47,29 % площі території країни.

Таблиця 3.1. Узагальнені характеристики покриття території України зонами СК-63

Таблиця 3.2. Узагальнені характеристики покриття території України триградусними зонами картографічних проекцій Гаусса-Крюгера і UTM

Очевидно, можливі два варіанти організації зон покриття території України. В першому варіанті, як це показано вище, організація зон у проекції Гаусса-Крюгера не зв'язана з адміністративно-територіальним устроєм. Внаслідок цього території більшості областей завжди не будуть розміщені в одній зоні Гаусса-Крюгера. Як правило, при дослідженні області, як цілісного земельно-кадастрового об'єкта, штучно розширюють зони Гаусса-Крюгера на всю територію області. Ця обставина має бути врахована при точністних дослідженнях влас-тивостей проекції Гаусса-Крюгера та інших.

У другому варіанті об'єктом дослідження є цілісна територія області, для якої встановлюють свою місцеву систему координат з осьовим

меридіаном зони Гаусса-Крюгера або інших. У цьому випадку є імовірність, що при зміні адміністративно-територіального устрою таку систему не можна буде вважати сталою. Але використовуючи інформаційні, зокрема геоінформаційні технології, організація моніторингу та ведення ретроданих забезпечують ефективне використання і такої системи організації покриття території.

3.4. Результати досліджень спотворень довжин ліній та площ діючих картографічних проекцій

На першому етапі експериментальні дослідження полягали в тому, що піддано обчисленню спотворення картографічних проекцій, які застосовуються для великомасштабного картографування України та її окремих регіонів.

Редукування довжин ліній на площину Гаусса-Крюгера збільшує горизонтальне прокладення лінії. Відомо, що відстань S по прямій між двома точками на площині обчислюється за формулою:

де s — відстань між цими ж точками на еліпсоїді, яка визначається по геодезичній лінії; — середній радіус кривизни для середньої точки лінії;

— середнє значення ординат кінцевих точок лінії;

.

При обмеженні першим членом ряду Тейлора поправка за реду-кування лінії на площину Гаусса-Крюгера набуває вигляду:

Враховуючи особливості проекції Гаусса-Крюгера як конформної проекції, можна стверджувати, що для невеликої ділянки (навіть у кілька тисяч гектарів) її зображення на площині в проекції Гаусса-Крюгера можна вважати подібним до її ортогональної проекції на горизонтальну площину. При цьому значення площі земельної ділянки при редукуванні на площину Гаусса-Крюгера збільшується на величину:

де Р — площа ділянки на плані.

На рис. 3.3 і 3.4 показано спотворення довжин у триградусних зонах проекції Гаусса-Крюгера на території України в системах СК-63 і СК-42.

Результати обчислень спотворень масштабів довжин ліній для те-риторії України наведено у табл. 3.3.

Таблиця 3.3. Результати досліджень спотворень ліній і площ у картографічних проекціях на території України

В табл. 3.3, 3.4, 3.5 прийняті такі позначення:

— довгота осьового меридіану,

— масштаб по осьовому меридіану,
— максимальний масштаб спотворення довжин,

— мінімальний масштаб спотворення довжин,

— максимальний масштаб спотворення площ,

Е — корінь квадратний із критерія Ейрі (середнє спотворення довжин).

Основним критерієм є критерій Ейрі — . Він визначає квадрат середнього спотворення довжин, віднесений до одиниці площі і об-числюється за формулами (4.1 — 4.4). Рядком нижче подано значення критерію у %.

Оцінюючи ці результати, можна стверджувати, що найменшими є спотворення в СК-42. Максимальне спотворення масштабів довжин у цій системі координат = 1.00017, а відтак максимальне спотво-

рення площ 1.00034 або 0,034 %, середнє спотворення площ — 0,014 %, що приблизно дорівнює 1:7 000. У системі СК-42 територія України складається з 7 триградусних зон. Лише Львівська, Луганська та Хмельницька області повністю розташовані в одній триградусній зоні. Решта областей і АР Крим — у двох (рис. 3.4). Ця обставина значно ускладнює ведення земельного кадастру на рівні регіонів.

У системі СК-63 територія України розчленована також на 7 зон. Проте, з урахуванням того, що на територію України, крім основного району X, ще поширюються райони С, Р і Т (рис. 1.1), ситуація виг-лядає дещо складнішою. Навіть при поширенні району X на всю те-риторію України (без урахування районів С, Р і Т) лише три області знаходяться повністю в одній зоні — Закарпатська, Рівненська та Хмельницька. Всі інші розташовані в двох зонах (рис. 3.3).

При дослідженні проекцій для територій АР Крим і Київської та Кіровоградської областей було враховано, що кожен регіон є цілісним кадастровим об'єктом і тому в системі координат СК-63 і в СК-42 стандартні зони були розширені таким чином, щоб територія регіону знаходилась в одній зоні.

Рис. 3.3. Розподіл спотворень масштабів довжин у системі координат СК-63 на території України

Рис. 3.4. Розподіл спотворень масштабів довжин у системі координат СК-42 на території України

На рис. 3.5, 3.6, 3.7 показано розподіл спотворень довжин ліній для досліджуваних систем координат у проекції Гаусса-Крюгера. Пунк-тирною лінією позначені осьові меридіани розширених зон.

Рис. 3.5. Розподіл спотворень довжин для Київської області (розширені зони)

Рис. 3.6. Розподіл спотворень довжин для Кіровоградської області

(розширені зони)

Рис. 3.7. Розподіл спотворень довжин для АР Крим (розширені зони)

Таблиця 3.4. Результати дослідження проекції Гаусса-Крюгера,

зокрема, системи координат СК-63 і системи координат СК-42

для АР Крим, Київської та Кіровоградської областей

Аналіз цих даних показує, що спотворення довжин ліній на краях зон Гаусса-Крюгера в системі координат СК-63 досягає 1:5 000. Треба зазначити, що тільки три області повністю розміщуються в одній 3-гра-дусній зоні Гаусса-Крюгера в СК-63. Якщо зону розширюють для того, щоб область була розташована в одній зоні Гаусса-Крюгера, то макси-мальні спотворення довжин ліній (а відтак і площ) значно перевищу-ють максимальні спотворення у стандартних зонах. Так, наприклад, максимальне спотворення довжин ліній в Автономній Республіці Крим досягає до 1:1 400, а у Кіровоградській області — 1:1 900. Враховуючи те, що проекція Гаусса-Крюгера є рівнокутною, то простежується пря-ма залежність між спотвореннями довжин ліній і спотвореннями площ ділянок. Ця залежність має такий вигляд:

де — спотворення площ, — маштабний коефіцієнт спотворення довжин.

Тоді максимальне спотворення площ досягає в зазначених випад-ках величини 1:700— 1:950. Для земельних ділянок величиною від 1 до 1000 га величини спотворень площ зображено на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Залежність максимального спотворення площ від площі земельної ділянки для АР Крим

Аналіз спотворення площ у проекціях Гаусса-Крюгера в СК-63 і СК-42 показує, що для земельних ділянок площею 7 га та більше, мак-симальні спотворення більші 0,01 га, що перевищує граничне значення прийнятих облікових одиниць для сіл та інших населених пунктів.

Таким чином, ні використання системи координат СК-63, а ні ви-користання СК-42 не забезпечують необхідної точності при кадастро-вому картографуванні великих і середніх об'єктів.

Слід звернути увагу на те, що діючі нормативні документи Держ-комзему, які регулюють точнісні характеристики земельно-кадастрових знімань, не відповідають сучасним вимогам земельних відносин і пот­ребують перегляду.

3.5. Результати досліджень точнісних характеристик місцевих систем координат

Важливими характеристиками при встановленні місцевих систем координат є максимально можливі розміри зон — областей, на які мож­на поширювати місцеві системи координат. Очевидно, що для вирі­шення цієї задачі необхідно визначити максимально можливу відстань від осьового меридіана зони, в якій спотворення довжин відстаней, а отже і площ, будуть меншими наперед заданих величин — певних допусків. Такими допусками є похибки математичної основи топогра­фічних планів у масштабі 1:500, 1:1000, 1:2000 та 1:5000, які не повинні перевищувати 0,1 мм в масштабі плану.

Для місцевих систем координат, утворених на основі проекції Гау-сса-Крюгера, ця максимальна відстань може бути визначена за такою формулою:

(3.1)

Проінтегрувавши вираз (3.1) AL отримаємо:

(3.2)

Тоді вираз дл я набуває вигляду:

(3.3)

Тут — допуск похибки математичної основи топографічних пла-нів;

— максимально допустима відстань від осьового меридіану зони проекції Гаусса-Крюгера; R — радіус Земної кулі (R ~ 6378 км).

Результати розв'язання рівняння (3.2) для топографічних планів у масштабі 1:500, 1:1000, 1:2000 та 1:5000 наведено в табл. З.5.

Таблиця 3.5. Результати дослідження максимальних відстаней від осьового меридіана в проекції Гаусса-Крюгера

4. РОЗРОБЛЕННЯ МЕТОДІВ ОПТИМІЗАЦІЇ ПРОЕКЦІЙ

ДЛЯ КАРТОГРАФУВАННЯ ТЕРИТОРІЇ УКРАЇНИ

ТА її РЕГІОНІВ

4.1. Визначення та обґрунтування оптимальних параметрів

заданих систем координат і картографічних проекцій

для України та її регіонів

В основу визначення інтегральних критеріїв вибору картографічних проекцій та їх параметрів найчастіше покладають критерії міні-максного або варіаційного типів. Критерій мінімаксного типу (критерій Чебишова) визначається відношенням найбільшого часткового масштабу довжин (у межах території, що картографується) до найменшого:

де — максимальне, а — мінімальне значення часткового масштабу довжин у межах території, що картографується.

Цей критерій важливий у тих випадках, коли спотворення довжин перевищуює певну норму за абсолютним показником, який є критичним.

Але у більшості випадків доцільнішим є застосування критерію варіаційного типу :

(4.1)

Тут S — площа території, — критерій для визначення спотворень довжин.

При визначенні оптимальних параметрів для проекції необхідно, щоб було виконано умову

(4.2)

В основі визначення цього критерію найчастіше лежать формули для визначення спотворень довжин вчених Ейрі, Йордана, Конусо-вої [3]. Ці формули дуже мало різняться між собою і, практично, дають один і той же результат. У виконаних дослідженнях використаний критерій Ейрі-І [3], що з урахуванням (4.1) та (4.2) приводить до функ-ціоналу:

(4.3)

де а та b— найбільший і найменший часткові масштаби за напрямками в точці з координатами В, L.

З огляду на складність підінтегрального виразу (4.3) рішення задачі знаходиться у числовому вигляді. Для цього територія, що картогра-фується, розчленовується на елементарні ділянки з приростами коор-динат і площею окремої ділянки. Тоді вираз (4.3) можна переписати як:

Прийнявши площу всієї території за S, з урахуванням наведеного можна отримати:

(4.4)

при достатньо малих та

Із метою покращення характеристик проекцій були проведені до-слідження з оптимізації параметрів існуючих і створення нових про-екцій. Розглядалися проекції:

- поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ — оптимі-
зована за положенням і масштабом осьового меридіана;

- рівнокутна конічна проекція Ламберта, оптимізована за положен-ням паралелей перетину;

- проекція Чебишова, оптимізована за масштабом на кордоні те-риторії.

На підставі виразу (4.4) було створено й досліджено алгоритми для оптимізації параметрів картографічних проекцій.

Вибір цих проекцій зумовлений тим, що поперечно-циліндрична проекція Меркатора та рівнокутна конічна проекція Ламберта були рекомендовані Європейською асоціацією національних картографо-геодезичних і кадастрових служб для використання, відповідно, у великомасштабному та дрібномасштабному картографуванні (лист Eurogeographics керівникам національних картографо-геодезичних служб від 12.09.2001 p.), а проекція Чебишова має найменші спотворення серед усіх рівнокутних проекцій.

4.2. Методика розрахунку оптимальних параметрів картографічних проекцій для території України

Узагальнена методика для оптимізації параметрів будь-яких картографічних проекцій.Ця методика — найбільш універсальна і потребує мінімуму вихідних даних, але вона досить чутлива до машинних ресурсів, а тому її доцільно застосовувати для проекцій зі складними формулами визначення масштабів, передусім для проекцій подвійного проектування, косих та поперечних проекцій з неортогональною картографічною сіткою або проекцій, заданих своїми прямокутними координатами у вузлах картографічної сітки.

Суть методики полягає в тому, що для кожної елементарної ділянки території для проекції послідовно знаходять коефіцієнти Гаусса:

(4.5) значення масштабів уздовж меридіана та паралелі:

(4.6)

та максимальне і мінімальне значення часткових масштабів:

Для визначення оптимальних параметрів проекції значення часткових масштабів та необхідно подати їх як функції від параметрів оптимізації. При цьому умова (4.4) трансформується в умову

(4.7)

де - вектор параметрів, що підлягають оптимізації.

Умові (4.7) відповідає система із k рівнянь:

(4.8)

Система (4.8) нелінійна. Для надійного розв'язку її необхідно при-вести до лінійного вигляду:

(4.9)

Тут — коефіцієнти матриці лінійних рівнянь, що визначаються із виразів:

(4.10)

У формулах (4.10) вектор - окіл точного рішення, і змінюються від 1 до k. Значення а також часткові похідні

та доцільно визначати числовими методами. Особливо це стосується випадків, коли формули для обчислення масштабів невідомі або занадто складні для ефективного обрахування аналітичних похідних.

Якщо накреслити фрагмент сітки меридіанів і паралелей (трафа-рет), то можна виразити необхідні похідні за допомогою їх числових апроксимацій, виражених через значення у вузлах сітки (рис. 4.7).

Обчисливши значення , для кутів елементарних трапецій, знайдемо наближені перші та другі часткові похідні , та для і, j-гo вузлів сітки за такими формулами:

(4.11)

Рис. 4.1. Трафарет для знаходження часткових похідних за значеннями функційу вузлах сітки

Тут — відстань між і + 1 та іпаралеллю сітки, l_і — відстань між двома сусідніми меридіанами сітки.

Аналогічно обчислюються часткові похідні та

Після обчислення за формулами (4.10) коефіцієнтів і вільних членів системи рівнянь (4.9) можна розв'язати систему рівнянь (4.12) при умові і знайти поправки до попередніх значень пара-

метрів Далі треба уточнити значення :

(4.12)

Верхній індекс у дужках означає номер ітерації. Оскільки окіл точ-ного рішення може спочатку бути визначений недостатньо точно, то задачу розв'язують шляхом ітерацій, повторюючи виконання пунктів (4.8-4.15) доти, доки поправки не стануть меншими деякої наперед заданої величини Як правило, для отримання задовільного рішення достатньо виконати 3-4 ітерації.

Така методика є універсальною і може бути застосована для опти-мізації параметрів будь-яких проекцій (із відповідним вектором пара-метрів що оптимізуються).

Швидкий алгоритм для оптимізації параметрів проекцій з ортого-нальною картографічною сіткою.З огляду на те, що при великомасш-табному картографуванні особливе місце займають проекції з ортого-нальною картографічною сіткою, доцільним є розроблення методики для цих проекцій. Умова (4.4) трансформується в таку:

(4.13)

Очевидно, що умова (4.13) аналогічна умові Лежандра для наступної системи з рівнянь:

(4.14) Систему рівнянь (4.14) можна привести до лінійного вигляду:

(4.15)

Тут

Система рівнянь (4.15) добре зумовлена. Особливість системи по-лягає в тому, що в ній, як правило, не більше 3-4 невідомих, а кількість рівнянь пможе сягати кількох сотень тисяч. Тому під час формування цієї системи доцільно паралельно формувати матрицю нормальних рівнянь. Розв'язавши систему таких нормальних рівнянь, знаходимо поправки Як і в першому алгоритмі, рішення задачі знаходиться в ітеративномупроцесі.

Методика оптимізації параметрів поперечно-циліндричної проек-ції Меркатора- ТМ.Однією з найперспективніших і найпоширеніших на сьогодні у світовій практиці картографічних проекцій для вели-комасштабного картографування є поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ. Враховуючи особливе місце, яке займає ця проекція, було розроблено швидкий алгоритм для її оптимізації (для інших

конформних проекцій алгоритм потребує невеликих змін). Проекцію оптимізують лише за двома параметрами — довготою осьового ме-ридіана і масштабним коефіцієнтом на осьовому меридіані Ос-кільки поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ рівнокутна, то критерій (4.3) можна трансформувати в критерій Ейрі для цієї про-екції в аналітичному вигляді:

(4.16)

Для оптимізації проекції можна знайти такі та щоб

(4.17)

Очевидно, що умова (4.17) аналогічна умові Лежандра для такої системи з рівнянь:

(4.18)

Систему рівнянь (4.18) треба привести до лінійного вигляду

(4.19)

Тут

Система рівнянь (4.19) аналогічна системі (4.15). Тому і під час її формування доцільно паралельно формувати матрицю нормальних рівнянь. Розв'язавши систему нормальних рівнянь, знаходимо поправ­ки Рішення задачі знаходиться в ітеративному процесі.

Знайдемо робочі формули для обчислення коефіцієнтів системи рівнянь (4.19). Масштаб по меридіану в проекції Гаусса-Крюгера ста­новитиме [3]:

(4.20) Відповідно масштаб по меридіану в проекції ТМ:

(4.21)

З виразів (4.20) і (4.21) знайдено робочі формули для обчислення часткових похідних від :

(4.22)

Після обчислення за формулами (4.20 - 4.22) коефіцієнтів і вільних членів системи рівнянь (4.19) систему рівнянь розв'язують, знаходячи поправки та та уточнюючи значення та :

(4.23)

Задачу розв'язують шляхом ітерацій, повторюючи виконання пунк-тів (4.19 — 4.23) до тих пір, поки поправки та не стануть менші за деяку наперед задану величину

Оптимізація поперечно-циліндричної проекції Меркатора - ТМ на прикладі території Київської області.Для оцінки оптимізації застосовується критерій Ейрі-І (4.3). Оскільки проекція ТМ рівнокутна, то критерій (4.4) можна трансформувати в критерій Ейрі для універсальної поперечно-циліндричної проекції Меркатора — UTM в аналітичній формі:

(4.24)

З огляду на складність підінтегрального виразу (4.24) рішення за-дачі виконується в числовому вигляді. Для цього територія, що карто-графується (тут — Київської області) розчленовується на елементарні ділянки з приростами координат і площею

Тоді вираз (4.24) можна переписати як:

(4.25)

при достатньо малих та

Для оптимізації параметрів проекції визначаються такі і щоб

(4.26)

Із умови (4.26) можна записати рівняння умови екстремуму функції двох змінних:

(4.27)

Система рівнянь (4.27) нелінійна. Для розв'язку її необхідно при-вести до лінійного виду. Окіл точного рішення визначається таким чином: приймемо що = 1 а за візьмемо довготу географічного

центру території, визначену за методикою, наведеною в [8]. Приведені до лінійного виду рівняння екстремуму (4.27) будуть мати такий вигляд:

(4.28)

Тут і — поправки до і , та — коефіцієнти матриці лінійних рівнянь, а — вільні члени системи (4.28).

Із (4.27) були знайдені формули для обчислень :

(4.29)

Робочі формули для обчислення (4.29) мають такий вигляд. Масштаб по меридіану в проекції Гаусса-Крюгера [3]:

(4.30)

(4.30)

відповідно масштаб по меридіану в поперечно-циліндричній проекції Меркатора — ТМ:

(4.31)

Із (4.30) і (4.31) знайдені робочі формули для обчислення перших і других часткових похідних від . Перші похідні:

(4.32)

Із (4.32) отримані формули для обчислення других похідних:

(4.33)

Після обчислення за формулами (4.29) коефіцієнтів і вільних членів рівняння (4.28) і його розв'язку можна знайти поправки і

а також уточнити значення та

(4.34)

Верхній індекс у дужках — означає номер ітерації. Оскільки окіл точного рішення може на початку бути визначений недостатньо точно, то задачу розв'язують шляхом ітерацій, повторюючи виконання пунктів (4.28) — (4.33) до тих пір, доки поправки і не стануть

меншими деякої наперед заданої величини Як правило, для отри-мання задовільного рішення треба виконати 3-4 ітерації.

5. РЕЗУЛЬТАТИ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ

ІЗ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА РОЗРАХУНКУ ПАРАМЕТРІВ

КАРТОГРАФІЧНИХ ПРОЕКЦІЙ

5.1. Основні положення, що лежать в основі

експериментальних досліджень

Європейська асоціація національних картографо-геодезичних служб EuroGeographics розробила рекомендації для використання картографічних проекцій при великомасштабному картографуванні (поперечно-циліндрична проекція Меркатора) та для картографування країни в цілому (рівнокутна конічна проекція Ламберта) [24].

На основі тих рекомендацій були проведені експериментальні до-слідження, які полягали в тому, щоб знайти оптимальні параметри для вибраних проекцій. Крім того, для досліджуваних територій були розраховані проекції Чебишова.

Розглянуто такі варіанти.

1. Для території України досліджено проекції:

а)універсальна поперечно-циліндрична проекція Меркатора
(UTM) — стандартні триградусні зони (масштаб за осьовим меридіан-
ном = 0.9996);

б) поперечно-циліндрична проекція Меркатора (ТМ) — оптимізована за масштабом осьового меридіану;

в) рівнокутна конічна проекція Ламберта, оптимізована за поло-
женням стандартних паралелей;

г) рівнокутна проекція Чебишова, оптимізована за масштабом на
кордоні України.

2. Оптимізацію проекцій на рівні регіонів України виконано на
прикладах АР Крим, Київської та Кіровоградської областей.

Досліджено такі проекції:

а) місцева система координат (оптимізована за положенням осьо-
вого меридіану проекція Гаусса-Крюгера);

б) оптимізована за положенням і масштабом осьового меридіану
поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ;

в) оптимізована проекція Чебишова з масштабом на кордоні об-
ласті = 1.000014.

Як і раніше, в проекціях Гаусса-Крюгера та UTM стандартні зони були розширені таким чином, щоб територія області знаходилася в одній зоні.

Для проведення обчислень був створений програмний комплекс для оптимізації параметрів картографічних проекцій (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Інтерфейс програмного модуля для пошуку оптимальних параметрів картографічних проекцій

Експериментальні дослідження полягали в обчисленні оптимальних значень основних параметрів проекцій Гаусса-Крюгера і ТМ і . Для розрахунку оптимальних параметрів усю територію об'єктів було розчленовано на сфероїдальні трапеції (елементарні ділянки). Для визначення точності в залежності від розміру елементарної ділянки обчислення проводились за розмірами ділянок: 2'х3', 20"х30", 10"х15", 6"х9", 4"х6" та 2"х3". Отримані результати свідчать, що у подальшому зменшенні розмірів елементарних ділянок немає змісту, оскільки змі-нюються значення тільки одного параметра — , і ця різниця складає менше 0,05" (близько 1,5 м), тоді як точність вихідних (початкових) матеріалів становить 3" — 4", тобто значно нижча.

Для кращого розуміння результати оптимізації параметрів проекцій для карт України порівняно із результатами для системи координат СК-63 в проекції Гаусса-Крюгера, триградусні зони. Оптимізовані параметри поперечно-циліндричної проекції Меркатора в місцевій системі координат для АР Крим, Київської та Кіровоградської областей порівняно зі стандартними зонами СК-63 в проекції Гаусса-Крюгера, розширеними таким чином, щоб територія регіону потрапляла в одну

зону та з проекцією Чебишова. Для всіх проекцій були знайдені аналі-тичні похідні та сконструйовані відповідні алгоритми. Крім того, всі дослідження були повторені з використанням універсальної методики розрахунку оптимальних параметрів картографічних проекцій. При визначенні оптимальних значень кутових параметрів усі методики дали збіжні результати з точністю 0.02'х0.03'. При визначенні масшта­бів і числових коефіцієнтів результати збігаються з точністю до б-7-го знака після коми.

5.2. Результати експериментальних досліджень із оптимізації картографічних проекцій для території України

В результаті експериментальних досліджень були визначені опти-мальні параметри для поперечно-циліндричної проекції Меркатора — ТМ і розрахована експериментальна проекція Чебишова для території України.

На рис. 5.2-5.5 показано спотворення в проекціях, що розглядалися.

а) Універсальна поперечно-циліндрична проекція Меркатора — UTM. Стандартні триградусні зони

а) Оптимізована поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ

а) Оптимізована поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ