Анализ систем массового обслуживания без явных потерь

Марковские системы, в которых каждая заявка проходила только одну операцию обслуживания, такие системы можно назвать однофазными. Если заявка получает обслуживание более чем в одном сервере, то говорят о многофазных системах или о сетях массового обслуживания. В общем случае каждый узел такой сети может содержать СМО определенного типа, а заявки могут поступать в сеть в различных точках, и получив обслуживание в одном узле могут поступать на обслуживание в другой для дальнейшей обработки.

При исследовании сети необходимо задавать топологическую структуру сети, так как она определяет возможные переходы заявок между узлами. Требуется также описать маршруты отдельных заявок и вероятностные модели потоков заявок между узлами сети.

Рассмотрим простейшую последовательную систему с двумя узлами (Рис. 1).

Рис. 1 Простейшая последовательная система с двумя узлами

Это топологическая структура сети, а не диаграмма состояний. Предположим, что входной поток пуассоновский с интенсивностью λ, который поступает на первый узел, в котором находится СМО типа M/M/1, с сервером, имеющим показательное распределение времени обслуживания со средним значением μ. Будем считать, что второй узел состоит из единственного обслуживающего прибора с показательным распределением времени обслуживания с интенсивностью также равной μ. Основная задача состоит в вычислении распределения промежутков времени между последовательными заявками, поступающими в узел 2, т.е. уходящими из 1.

Пусть d(t) обозначает плотность распределения вероятностей промежутков между последовательными заявками на выходе узла 1.

Обозначим ее преобразование Лапласа

.

Выразим эту функцию через распределение для случая, когда в узле 1 имеется новая заявка т. е. СМО1 не пуста и распределение для случая, когда при уходе заявки из СМО1 на ее входе не было другой заявки т.е. СМО1 пуста. Так как нужно записать преобразование Лапласа для плотности вероятности суммы двух промежутков времени - время до поступления следующего требования и время обслуживания этого требования, и эти два промежутка распределены независимо, то плотность распределения вероятностей их суммы, как известно, равна свертке плотностей распределения вероятностей суммируемых случайных величин. Соответственно преобразование Лапласа плотности распределения суммы равно произведению преобразований исходных плотностей распределения. Тогда преобразование Лапласа плотности вероятности промежутка времени между заявками для случая пустого узла 1 будет:

.

Здесь B(s) – преобразование Лапласа плотности вероятности времени обслуживания.

Поскольку время обслуживания является случайной величиной с показательным законом распределения, то:

.

Используя то свойство, что вероятность того, что заявка покинет систему пустой, равна вероятности того, что заявка поступит в момент, когда в системе нет заявок и равна в точности 1-ρ. Это позволяет записать преобразование Лапласа для плотности вероятности распределения промежутка времени полностью в виде

Следовательно, плотность вероятности распределения промежутков времени между заявками, покидающими узел 1, является также случайной величиной с показательным законом распределения с тем же самым параметром. Это значит, что СМО типа М/M/1 превращает пуассоновский поток на входе в пуассоновский поток на выходе с тем же самым параметром. Этот результат называют теоремой Бёрке. Им было показано, что этот факт имеет место для всех СМО типа M/M/m. На основании этой теоремы можно исследовать многофазные последовательностные схемы.