Водокольцевые вакуум-насосы и воздуходувки.
Понятие тензора (от латинского tendo — напрягаю, растягиваю) принадлежит к числу основных, фундаментальных математических понятий и широко применяется сейчас в механике, электродинамике, теории относительности и т. д. Первоначально возникшее в работах XIX века по теории упругости, оно было систематически исследовано в 1886 —1901 гг. итальянским геометром Г. Рйччи-Курбастро (1853—1925) и итальянским математиком и механиком Т. Лёви-Чивйта (1873—1942).
Внимание к новому аппарату существенно возросло после создания в 1915 —1916 гг. великим ученым, физиком А. Эйнштейном (1879 — 1955) общей теории относительности, математическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении. Физические величины, которые нам встречались до сих пор, были либо скалярными, либо векторными. Однако существуют физические величины более сложной природы.
Например, однородное напряженное состояние упругого тела характеризуется плотностью р силы, с которой одна часть тела действует на другую через мысленно выделенную плоскость (Q) (рис. 1); однако при этом р для различных направлений плоскости (Q) будет различным. Таким образом, величина, характеризующая напряженное состояние, уже не является вектором, она представляет собой тензор 2-го ранга. Оказывается, что и многие другие важные величины, характеризующие состояние сплошных сред, также являются тензорами.
К настоящему времени тензорная алгебра, а также тензорный анализ (т. е. теория тензорных полей, связанная с применением дифференцирования и интегрирования) представляют собой значительно разработанные дисциплины.
§ 1. Тензорная алгебра
1. Примеры.К понятию тензора можно прийти уже размышляя над описанием векторов в обычном пространстве с помощью чисел. Как известно из векторной алгебры, все действия над векторами удобно осуществлять, выбрав евклидов базис i, j, k, после чего можно любой вектор а разложить по этому базису
а = ахi + ауj+ azk (1)
и взамен действий над векторами осуществлять действия над их проекциями, т. е. над числами — коэффициентами разложений. Более того, даже задавать конкретные векторы обычно бывает удобнее с помощью разложения (1), чем каким-то геометрическим способом.
Однако задумаемся теперь, что это за векторы i, j, k. В некоторых случаях, когда в задаче имеется естественная система отсчета направлений (например, во многих задачах статики), эти векторы можно описать вполне точно, «привязав» их к данным задачи. Но во многих случаях привлечение такой «абсолютной» системы отсчета является весьма искусственным либо вообще невозможно. Тогда получается на первый взгляд парадокс: мы пользуемся проекциями вполне определенного вектора, которые зависят от выбора базиса, но не уточняем, как этот базис выбирается...
Эта трудность будет преодолена, если с самого начала отказаться от выбора какого-то одного базиса, а считать, что все базисы равноправны и каждому выбору базиса i, j, k отвечает набор значений ах, ау, аz в соответствии с формулой (1). Подобный набор величин, приобретающих определенные значения лишь после выбора базиса и преобразующихся по определенному правилу при замене базиса (см. ниже), и называется тензором (или тензорной величиной), а сами эти величины, составляющие в определенном порядке тензор, называются его компонентами. (Отметим некоторое несоответствие: в векторной алгебре принято компонентами вектора A называть в е к торы ахi, ауj, azk. Однако здесь мы будем компонентами называть величины ах, аy , аz.)
В тензорном исчислении принято не писать знак суммы по повторяющемуся индексу, а при повторении индекса всегда осуществлять такое суммирование, т. е. писать последнюю формулу.
Здесь индекс суммирования является немым и может быть обозначен любой буквой, а пределы суммирования определяются размерностью пространства, в котором рассматривается тензор.
Напряженное состояние в окрестности точки
Если через произвольную точку тела провести три взаимно перпендикулярные площадки параллельно координатным плоскостям, то девять составляющих (компонент) напряжения: три нормальных ах, ау, стг и шесть касательных хху, т,2, т2Х, тух, txz, хzy, действующих на этих площадках (рис. 4.1),
полностью определяют напряженное состояние в окрестности данной точки. Это означает, что, зная эти девять величин, можно найти напряжения на любой наклонной площадке, проходящей через данную точку. Слово «составляющая» или «компонента» в дальнейшем для краткости будем опускать.
Все девять напряжений можно обозначить одинаково, например, Gij{hj=x, У, z). Тогда при г'=у получаются нормальные напряжения, в которых сохраняется только один индекс, а при i Ф]—касательные напряжения. Первый индекс указывает, параллельно какой оси направлено напряжение, а второй обозначает нормаль к площадке, на которой оно действует. Это правило непосредственно относится к касательным напряжениям, но им также можно пользоваться и для нормальных напряжений, если употреблять обозначения <уи.
Нормальные напряжения считаются положительными, если они направлены в сторону внешней Нормали к площадке, и наоборот. В соответствии с этим правилом положительные нормальные напряжения считаются растягивающими, а отрицательные — сжимающими.
Для касательных напряжений принимается следующее правило знаков. На площадке, внешняя нормаль к которой направленав положительном (или отрицательном) направлении соответствующей оси, касательное напряжение считается положительным, если оно также направлено в положительном (или отрицательном) направлении оси. На рис. 4.1 показаны положительные напряжения.
Проведем вблизи точки О тела произвольную наклонную площадку ABC, площадь которой обозначим через dF(рис. 4.2). Положение этой площадки может быть определено углами, которые составляет нормаль v с осями координат.
Как известно из аналитической геометрии, направляющие косинусы нормали связаны между собой соотношением
l2 + m2+n2 = 1. (4.1)
Полное напряжение pv, действующее на этой площадке, можно спроектировать на оси координат. Проекции pxv, pyv, pzv определяются из уравнений равновесия тетраэдра ОАВС. Составим сумму проекций всех сил, приложенных к граням тетраэдра, на ось Ох (на рис. 4.2 на вертикальных и горизонтальной гранях тетраэдра показаны только те напряжения, которые дают проекции на ось
Водокольцевые вакуум-насосы и воздуходувки.
Водокольцевые воздуходувки и вакуум-насосы применяются для подачи воздуха в реагентных хозяйствах для перемешивания растворов, для аэрации воды. Вакуум--насосы чаще всего используются для заполнения и запуска насосов, установленных выше поверхности воды, для зарядки сифонных линий на водозаборных сооружениях.
Принцип действия воздуходувки (рис.49) заключается в следующем. При вращении эксцентрично расположенного в корпусе 1 ротора 2 с лопатками 4 имеющаяся в корпусе вода отбрасывается к стенкам и образует водяное кольцо 5.
Рис.49. Схема водокольцевой
воздуходувки: 1 – корпус; 2 – ротор; 3 – входное отверстие; 4 – лопасти; 5 – водяное кольцо; 6 – выходной патрубок
Между поверхностью ротора, лопатками и водяным кольцом образуется замкнутое пространство abcd, которое при повороте ротора увеличивается в объеме и засасывает воздух из серповидного отверстия 3, расположенного в торце корпуса. После прохождения через нижнюю точку объем abcd уменьшается и воздух под давлением выбрасывается в напорный патрубок 6. Такой же аппарат применяется для отсоса воздуха.
Производительность воздуходувки определяется из условия выброса за один оборот объема воздуха, заключенного между ротором, лопатками и водяным кольцом:
Q =(p(d+l)2/4 - pd2/4 – 0,5.m.l.d)b.n,
где m- число лопаток; n- число оборотов в секунду; l l – длина лопатки;b- размер корпуса воздуходувки, перпендикулярный плоскости чертежа.
К достоинствам воздуходувки следует отнести простоту конструкции и то, что в подаваемом воздухе не содержится никаких примесей, кроме водяных капель. Это очень важно при обработке питьевой воды.
Для отделения капель на выходе устанавливают бачок; подпитка водяного кольца осуществляется непосредственно из водопровода; часть воды возвращается в корпус из бачка.
При работе в режиме воздуходувки бачок 5 (рис.50,а) носит название газосборника(ресивера), в нем поддерживается с помощью поплавкового регулятора 6 определенный постоянный уровень.
При установке вакуум-насоса бачок 11 (рис.50,б) называют водосборником. Из него избыток воды сливают в канализацию.
Рис.49. Установка воздуходувки (а) и вакуум-насоса (b): 1 - воздуходувка; 2 - подача воды из водопровода; 3 - вход воздуха; 4 - воздух под давлением; 5 - газосборник; 6 - поплавковый регулятор; 7 - слив в канализацию; 8 - вакуум-насос; 9 - вакуумная линия; 10 - выброс воздуха; 11 - водосборник
Характеристика вакуум-насоса (рис.51) показывает, что величина вакуума в значительной степени зависит от количества откачиваемого воздуха; с увеличением подачи вакуум падает.
Рис.51 Характеристики вакуум-насосов ВВН6 и ВВН3.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
ТЕНЗОРЫ | | | История развития садово-паркового искусства |
Дата добавления: 2015-02-19; просмотров: 1340;