НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цели и задачи работы: изучение законов вращательного движения твердого тела; определение момента инерции маятника Обербека.

Содержание работы:

Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, расстояние между которыми неизменно. Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центром на одной прямой, называемой осью вращения. Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси 00^/, совершило за время бесконечно малый поворот (рис. 1).

Соответствующий угол поворота характеризуется вектором , модуль которого равен углу поворота , а направление совпадает с осью 00^/, причем так, что направления вращения и вектора отвечают правилу правого винта. Величина

(1),

характеризующая быстроту изменения угла поворота, называется угловой скоростью. Направление вектора угловой скорости совпадает с направлением вектора . Единица угловой скорости – радиан в секунду (рад/с).

Рис. 1

При вращательном движении все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и угловое ускорение, но линейная скорость различна. Линейная скорость любой точки твердого тела равна векторному произведению угловой скорости на радиус-вектор, соединяющий эту точку с произвольной точкой О оси вращения (рис. 2)

(2)

Модуль вектора линейной скорости равен

(3)

где R - радиус окружности, которую описывает рассматриваемая точка. Вектор направлен в сторону вращения по касательной к траектории и перпендикулярен плоскости, в которой лежат и .

При неравномерном вращении величина меняется со временем и за промежуток времени получает приращение . Величина

(4),

характеризующая быстроту изменения во времени угловой скорости, называется угловым ускорением вращающегося тела. Если тела вращается вокруг неподвижной оси, то вектор углового ускорения направлен вдоль этой же оси; в ту же сторону, что и вектор угловой скорости, при ускоренном вращении и в противоположную – при замедленном вращении . Единица углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (рад/с²).

При вращательном движении тела изменение его кинематических и динамических величин зависит от действующего на тело вращательного момента сил и момента инерции тела. Моментом силы называется векторная величина , равная векторному произведению радиус–вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы А, на вектор силы

(5)

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположен вектор силы и радиус – вектор и образует с ними правовинтовую пару (рис. 3) Модуль вектора равен

(6)

где R - плечо вектора относительно т. О.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-либо оси называется произведение ее массы на квадрат расстояния от оси вращения:

(7)

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех материальных точек

(8)

где - элементарная масса, заключенная в объеме - й частицы. Элементарная масса равен произведению плотности тела в данной точке на соответствующий элементарный объем :

(9)

Следовательно, момент инерции можно представить в виде:

(10)

Если плотность тела постоянная, ее можно вынести за знак суммы:

(11)

Соотношения (10) и (11) являются приближенными, причем тем более точными, чем меньше элементарные объемы и соответствующие им элементарные массы. Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию:

(12)

Момент инерции является физической величиной, характеризующей инертность тела при изменении им угловой скорости под действием вращающего момента.

В случаях, когда ось вращения тела произвольна, то вычисление момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно геометрической оси и произведения масса тела на квадрат расстояния между осями:

(13)

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z записывается следующим образом:

(14)

где М_z - суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения.

Экспериментальная установка (рис. 4, маятник Обербека) состоит из четырех стержней, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На ту же втулку насажены два шкива с радиусами R_м и R_б . Эта система может вращаться свободно вокруг горизонтальной оси. Момент инерции системы можно изменять, передвигая цилиндрические грузы вдоль стержней.

Момент силы создается грузом Р, привязанным к нити, которая навита на один из шкивов. Груз Р удерживается на высоте h и обладает потенциальной энергией mgh, где m - масса груза; g - ускорение свободного потения. Если предоставить грузу возможность падать, то это падение будет происходить с ускорением . При этом шкив со стержнями и расположенными на нем грузами будет вращаться с угловым ускорением .

Рис. 4

Измеряя время t, в течение которого груз Р из состояния покоя опустится на расстояние h, можно найти ускорение груза:

(15),

которое связано с угловым ускорением соотношением

(16)

где R - радиус шкива.

Если через Т обозначить силу натяжения нити, то вращающий момент сил будет определяться по формуле:

(17).

Силу Т можно найти из уравнения движения груза Р:

(18)

Из (18) следует:

(19)

Подставляя (19) в (17), получим формулу для момента сил:

(20)

Момент инерции всей системы можно вычислить по следующей формуле:

(21)

где L, , r_{H ,} r₀ – параметры, указанные на рис. 4.

Оборудование, технические и инструментальные средства: маятник Обербека, грузы, штангенциркуль, счетчик-секундомер.

Порядок выполнения работы:

1. Установить цилиндрические грузы массой m₀ на некотором расстоянии L от оси маятника так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии, для чего рекомендуется несколько раз привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться. После этого окончательно определить расстояние L по формуле

(22)

где L₁ и L₂ - расстояния между центрами цилиндрических грузов на стержнях.

2. Измерить размеры цилиндрического груза и радиусы R_M малого и R_б большего шкивов, внешний r_H, внутренний r₀ радиусы и длину образующей цилиндрического груза.

3. Измерить высоту h - расстояние между двумя датчиками.

4. Прикрепить к нити, намотанной на шкив радиуса R_M , груз массой m .

5. Включить счетчик – секундомер.

6. Отпустить груз и определить время его падения t с высоты h.

7. Вычислить линейное ускорение по формуле (15) и угловое ускорение по формуле (16)

8. Вычислить момент сил по формуле (20).

9. Повторить пункты 4-8 для двух-трех грузов других масс.

10. По вычисленным значениям и построить график зависимости , по оси ординат которого откладывают величину , по оси абсцисс – момент силы М. Полученная зависимость должна быть линейная.

11. Из графика определите экспериментальный момент инерции системы и момент силы трения М_тр на оси вращения, способы нахождения которых показаны на рис. 5

12. Повторить пункты 4-11 для шкива радиуса R_б. Выбирая масштаб для значений и , можно построить графики зависимости от малого и большего шкивов в одной системе координат и убедиться, что они лежат на одной прямой.

Рис.5

13. Определить теоретический момент инерции системы расчетным путем по формуле (21). Значение момента инерции маятника без цилиндрических грузов указано на установке.

14. Проверить сходимость экспериментально и теоретически полученных значений моментов инерции системы по формуле:

(23)

1. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу:

Контрольные вопросы

1. Что такое вращательное движение?

2. Сформулируйте определения и напишите формулы для угловой скорости и углового ускорения. Укажите их направления и единицы измерения.

3. Какова связь между линейной и угловой скоростью?

4. Как направлена линейная скорость?

5. Что называется моментом инерции? Что характеризует эта величина?

6. Сформулируйте теорему Штейнера и запишите формулу закона.

7. Что такое момент сил? Как направлен вектор момента сил?

8. Основной закон динамики вращательного движения.