Взаимосвязь массы и энергии.
Энергия тела (без учета потенциальной энергии во внешнем силовом поле) связана с его массой
, (77)
- скорость света в вакууме.
Энергия покоя тела
,
- масса покоящегося тела.
Кинетическая энергия релятивистской частицы
.
8. Связь между энергией и импульсом частицы.
. (78)
Образец теста по разделу «Механика»
1. Материальная точка движется по окружности радиусом = 5 м так, что пройденный ею путь меняется со временем как м. Определить величину ускорения точки в момент = 2 с. В произвольной точке траектории показать направления тангенциального, нормального и полного ускорения материальной точки.
(Ответ: ≈ 20 м/с2 )
2. Диск вращается равнозамедленно в направлении, показанном на рисунке. Определить номер линии, по которой направлен вектор углового ускорения .
(Ответ: 1)
3. В каком случае скорость тела можно вычислить по формуле ? Указать номер правильного ответа.
1: =6 м 2: =6 м 3: =(6 + ) м 4: =(6 +1) м
(Ответ: 1)
4. Тело массой = 2 кг падает вертикально вниз с ускорением =9 м/с2 . Определить среднюю силу сопротивления воздуха.
(Ответ: 2 Н)
5. Четыре шарика массами , 2 , 3 , 4 закреплены на невесомом стержне на одинаковом расстоянии = 0,1 м друг от друга. На каком расстоянии от крайнего левого шарика находится центр масс системы?
(Ответ: 20 см)
6. Четыре шарика одинаковой массы = 50 г закреплены невесомыми стержнями в вершинах квадрата со стороной = 10 см. Определить момент инерции системы относительно оси . Шарики рассматривать как материальные точки.
(Ответ: 0,001 кг· м2)
7. Чтобы закатить барабан радиуса = 1 м на ступеньку высотой = 50 см, к нему прикладывают горизонтальную силу = 2 Н. Определить величину момента этой силы относительно точки О.
(Ответ: 3 Н· м)
8. С какой угловой скоростью должен вращаться диск радиуса = 0,8 м и массой = 0,5 кг, чтобы его кинетическая энергия составляла 2 Дж?
(Ответ: 5 рад/c)
9. Стержень длиной = 1 м ставят вертикально на конец и отпускают. Стержень падает без проскальзывания, вращаясь вокруг точки . Определить угловое ускорение стержня в момент, когда он составляет угол = 60° с плоскостью. 0,9; =0,5.
(Ответ: 7,5 рад/с2)
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Тема «Кинематика»
Пример 1.Частица движется по окружности радиусом = 50 см так, что зависимость ее пути от времени имеет вид м. Определить скорость и ускорение частицы в момент =2 с. Найти угол между скоростью и ускорением частицы в заданный момент времени.
Дано: =0,5 м, м , =2 с. Найти: , , .
Решение. Скорость представляет собой производную от пути по времени
м/c .
В момент =2 с,
м/c .
Тангенциальное ускорение
м/c2, м/c2 .
Нормальное ускорение
м/c2.
Полное ускорение м/c2 .
Скорость и направлены по касательной к окружности, - к ее центру (рис.10).
Рисунок 10 –Направления скорости и ускорения.
; .
Ответ: м/c , м/c2 , .
Пример 2. Цилиндр радиусом катится без скольжения со скоростью (рис.11). Определить скорости точек А и В, а также радиусы кривизны их траекторий.
Дано: , . Найти: , , , .
Рис. 11.
Решение.
1). Качение цилиндра можно представить как сумму двух движений: поступательного с постоянной скоростью (рис.12, ) и вращательного вокруг центра масс (рис.12, ).
Рис.12, . Рис.12, .
Т.к. скорость точки К касания цилиндра с землей равна нулю, то значит, при вращении точки обода цилиндра движутся также со скоростью . В результате сложения скоростей при поступательном и вращательном движениях находим скорости точек и
; .
Направления векторов и показаны на рисунке 13.
Рис.13.
2). Ускорение точек и обусловлено вращением цилиндра,
.
Векторы и направлены к центру цилиндра. Нормальное ускорение точки перпендикулярно скорости (рис.13),
.
Нормальное ускорение точки равно ее полному ускорению
.
Т.к. радиус кривизны траектории , то
,
.
Ответ: , . , .
Тема «Законы Ньютона»
Пример 3. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Пройденный телом путь меняется со временем по уравнению м. Определить коэффициент трения тела о плоскость.
Дано: м, . Найти: ..
Решение. Скорость тела равна
м/c.
Ускорение тела
м/c2.
Рис.14.
При движении на тело действуют сила тяжести , сила трения , сила реакции опоры (рис.14).
Запишем 2-ой закон Ньютона в проекциях на оси x и y :
(x) , (1)
(y) . (2)
Из (1): ,
из (2): .
Т.к. , то коэффициент трения
.
Ответ: .
Пример 4. Сфера радиусом =1 м равномерно вращается вокруг вертикального диаметра с частотой 36 мин-1. Внутри сферы находится шарик массой =50 г. Найти, на какой высоте, отсчитываемой от нижней точки сферы, шарик займет положение равновесия относительно сферы. Определить силу давления шарика на сферу в этом положении.
Дано: =1 м, =36 мин-1=0,6 с-1, =0,05 кг. Найти: , .
Решение: На шарик действуют сила тяжести и реакция опоры (рис.15).
Рис.15.
Т.к. вращение равномерное, то тангенциальное ускорение шарика
.
Полное ускорение шарика равно нормальному,
,
и направлено к центру его траектории. Т.к. радиус траектории , то
. (1)
Запишем 2-ой закон Ньютона для шарика в проекции на оси x и y
(x) , (2)
(y) . (3)
Отсюда и . Поделим два последних уравнения одно на другое,
.
Подставим из (1) выражение для ускорения
.
Отсюда .
Т.к. , то
.
м = см.
Из (3) найдем, что Н.
Сила давления шарика на сферу численно равна силе реакции опоры, Н.
Ответ: м ; Н.
Тема «Импульс тела. Центр масс»
Пример 5. Шарик массой 50 г, движущийся со скоростью =2 м/с под углом к стенке, абсолютно упруго соударяется с ней. Продолжительность удара =0,01 с. Определить среднюю силу, действующую на стенку во время удара.
Дано: =0,05 кг, =2 м/c, , =0,01 c. Найти: .
Решение. Изменение количества движения (импульса) шарика равно сумме импульсов действующих на него сил:
. (1)
Рис.16.
На шарик действуют сила тяжести и, во время удара, сила реакции стенки (рис.16).
Спроецируем уравнение (1) на ось x:
.
Отсюда
Н.
Т.к. сила, действующая на стенку, численно равна силе реакции опоры, то
10 Н.
Ответ: 10 Н.
Пример 6. Четыре точечные массы , , и находятся в вершинах квадрата со стороной (рис.17). Определить положение центра масс данной системы.
Дано: , , , , . Найти: -? -?
Рис.17.
Решение. Расположим начало координатных осей x и y в точке . Тогда координаты центра масс равны
,
.
Величина радиус-вектора центра масс
.
Ответ: , .
Тема «Динамика вращательного движения»
Пример 7. На барабан массой =3 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой =2 кг (рис.18). Найти ускорение груза и силу натяжения шнура, считая барабан однородным диском. Трением пренебречь.
Дано: =3 кг, =2 кг,
барабан – диск. Найти: , .
Решение. На груз действуют
сила тяжести и сила
натяжения шнура (рис.19) .
Т.к. груз совершает
поступательное движение,
запишем для него 2-ой закон Ньютона Рис.18
в проекции на ось y, направленную
вертикально вниз, Рис.18.
. (1)
На барабан действуют сила натяжения , сила тяжести и реакция опоры (рис.20).
Рис.19. Рис.20.
Т.к. барабан вращается, воспользуемся основным законом динамики вращательного движения и запишем его относительно оси вращения, проходящей через точку :
, (2)
- радиус барабана. Моменты сил и относительно точки равны нулю.
Т. к. барабан – однородный диск, его момент инерции
.
Угловое ускорение барабана . Подставив и в уравнение (2), получаем
. (3)
Отсюда . (4)
Подставим в (1):
.
Тогда .
Отсюда ускорение
м/с2.
Сила натяжения шнура из уравнения (4):
Н.
Ответ: м/c2 , Н.
Пример 8. Лестница массой =16 кг приставлена к вертикальной стене под углом 20° к ее поверхности. На лестнице на расстоянии ее длины , от нижнего конца, стоит человек массой =75 кг. Каким должен быть коэффициент трения между основанием лестницы и поверхностью пола, чтобы лестница не соскользнула? Трением между лестницей и стенкой пренебречь.
Дано: =16 кг, =75 кг, =20°, . Найти: .
Рис.21.
Решение. Обозначим - длина лестницы. На лестницу с человеком действуют сила тяжести лестницы , человека , сила трения и реакции опор и (рис.21).
Т.к. система находится в равновесии, то сумма действующих на нее сил и моментов сил должна быть равна нулю.
Запишем условие равенства нулю суммы сил в проекции на ось y:
.
Отсюда .
Запишем условие равенства нулю моментов сил, относительно точки :
.
Сокращая на и учитывая, что , получаем
.
Отсюда = =
=
Ответ: .
Тема «Работа. Механическая энергия»
Пример 9. Тонкий стержень длиной =0,8 м может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей его верхний конец. Стержень отклонили на угол =60 ° и отпустили (рис.22). Определить угловую скорость стержня, линейную скорость его нижнего конца и скорость центра масс в момент прохождения стержнем положения равновесия.
Рис.22.
Дано: =0,8 м, =60 °. Найти: , , .
Решение.
Изменение кинетической энергии стержня равно работе сил, приложенных к нему:
(1)
(теорема о кинетической энергии).
В начальный момент стержень неподвижен, =0.
В момент прохождения положения равновесия ,
- момент инерции однородного стержня относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса . Тогда
. (2)
На стержень действуют сила тяжести и реакция опоры . Сила не совершает работы, т.к. точка ее приложения неподвижна. Работа силы тяжести
.
Т.к. , то
. (3)
Подставляя в (1) уравнения (2) и (3), получаем
.
Отсюда .
Скорость точки , м/с.
Скорость точки , м/с.
Ответ: м/с, м/с.
Пример 10. Шар, движущийся со скоростью =4 м/с, закатывается на наклонную плоскость, составляющую угол = 30° с горизонтом (рис.23). Какое расстояние пройдет шар по наклонной плоскости за счет его кинетической энергии? Трением пренебречь.
Дано: =4 м/с, = 30° . Найти: .
Решение. Применим теорему о кинетической энергии:
. (1)
В конце движения шар останавливается, поэтому .
Начальная кинетическая энергия шара
, (2)
т.к. движение шара складывается из поступательного и вращательного. В формуле (2) - скорость центра масс шара (рис.23).
Момент инерции шара , его угловая скорость .
Рис.23.
Тогда (3)
Сила реакции опоры работы не совершает. Работа силы тяжести
. (4)
Подставляя выражения для и в (1), получаем
.
Отсюда м.
Ответ: м.
Тема «Уравнения гидродинамики»
Пример 11. Вода из трубы диаметром =5 см, расположенная на глубине 1 м, поступает в здание под давлением 3 атм со скоростью 0,5 м/с. На верхнем этаже на высоте 10 м труба сужается до диаметра =2,5 см. Вычислить скорость течения и давление в трубе на верхнем этаже (вязкостью воды пренебречь).
1 атм=101,3∙103 Па.
Дано: =5 см=5∙10-2 м, =2,5 см=2,5∙10-2 м, =3 атм=303,9∙103 Па, =1 м, м/с, =10 м. Найти: , .
Решение. Из уравнения неразрывности вычислим скорость движения воды в узком сечении трубы
.
Т.к. площади сечений и , то
м/с .
Уравнение Бернулли
= .
Отсюда
.
Подставим числовые данные, учитывая, что плотность воды кг/м3 ,
Па.
Ответ: м/с , =204∙103 Па.
Пример 12. Для измерения скорости протекания газа используют трубку Вентури (трубку с сужением, в которую врезан жидкостный манометр, рис.24).
Определить скорость движения газа в широкой части трубки, если известны плотность газа и плотность жидкости, площади и сечений трубки, разность уровней жидкости в манометре.
Дано: , , , , . Найти: .
Решение. Т.к. трубка тока газа расположена горизонтально, то уравнение Бернулли для нее имеет вид
= , (1)
и - статическое давление газа в широком сечении 1 и в узком сечении 2.
Рис.24.
Из (1):
. (2)
Разность статических давлений и уравновешивается гидростатическим давлением столбика жидкости высотой
. (3)
Из (2):
. (4)
Скорости и связаны уравнением неразрывности
.
Отсюда . Подставим в (4):
.
Получаем .
Ответ: .
Дата добавления: 2015-03-20; просмотров: 2023;