Приложение №2

Литература

2. Валуце И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов. Учебное пособие.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1999г.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов.- М.: Наука, 1970-2001, т. 1,2.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс Высшей математики.- М.: Наука, 1989.

5. Данко П. Е., Попов А.Г., Кажевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.:Наука,1999,ч.1,2

1.Основные понятия дифференциального уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнения - это уравнение, связывающее функционально зависимые переменные и их производные.

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Если искомая функция зависит только от одного аргумента, то уравнение называется обыкновенным.

Мы будем решать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение n–го порядка может быть записано в виде F(x, y, y^/,y^//...y⁽ⁿ⁾)=0 , где y(x)- неизвестная функция, F-некоторая функциональная зависимость между независимой переменнойx, функцией y и её производными.

Например:

дифференциальное уравнение 1-го порядка,

- дифференциальное уравнение 2-го порядка,

-дифференциальное уравнение 3-го порядка.

Определение: Функция, обращающая дифференциальное уравнение в тождество, называется решением этого уравнения.

2.Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменными.

В общем виде дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать как равенство F(x, y, y′) = 0

Дифференциальное уравнение вида f(x)dx = g(y)dy называют уравнением с разделёнными переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения xdx+ydy=0

Решение.

Разделим переменные, запишем уравнение в виде xdx = -ydy

Проинтегрируем обе части уравнения, получим

, или , или , .

3.Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющими переменными.

Определение.Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида h(x)g(x) dx -

Чтобы привести это уравнение к уравнению с разделенными переменными достаточно разделить его на произведение

Пример.Найти общее решение уравнения y' = 3x – 1

Решение.

Представим производную у' как . Уравнение примет вид

Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на dx. Полученное равенство проинтегрируем:

Ответ: - общее решение.

Пример.Найти решение уравнения y'+y-1=0.

Решение.

Запишем уравнение в виде: y' = 1 –y. Представим производную у' как .

Уравнение примет вид Умножим уравнение на dx и разделим на 1-y≠0. Получим уравнение с разделенными переменными:

Найдём интегралы от обеих частей равенства:

или

Ответ: -решение дифференциального уравнения.

Пример.Найти общий интеграл (общее решение) уравнения

Вынесем за скобки общие множители:

Теперь разделим обе части уравнения на (y²∙x²) и сократим на x² и y²:

Получаем

Проинтегрируем обе части отдельно:

Общий интеграл (решение) уравнения имеет вид:

Преобразуем по свойству логарифмов и получим:

Ответ: -решение уравнения.

4.Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение.Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Такое уравнение подстановкой сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Разделим правую часть уравнения (числитель и знаменатель) на x². Получим уравнение .

Выполним подстановки или в дифференциальной форме . После этого уравнение примет вид:

Перенесем t в правую часть и приведём дроби к общему знаменателю, то есть

По основному свойству пропорции можно записать . Разделим обе части уравнения на (t³∙x) и получим или .

Проинтегрируем обе части равенства:

Выполним обратную подстановку и получим общее решение дифференциального уравнения. Так как y = xt, то .

Выразим Cy, получим

Ответ:

6.Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение.Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение относительно неизвестной функции и её производной неизвестные функции.

1)Если , то имеем частный случай, то есть или

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и выполним интегрирования отдельно каждой части уравнения:

, следовательно,

Если G(x)≠0, то уравнение решается с помощью подстановки Бернулли y = u(x)∙v(x) или кратко y = uv. Подставим y = uv и в уравнение, получим

Сгруппируем слагаемые и получим уравнение . Подберём функцию v так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю 0. Тогда получим систему: .

Теперь найдем v из первого уравнения системы (уравнение с разделяющимися переменными): , , ,

, получаем .

Подставим полученный результат во второе уравнение системы:

, , .

Теперь находим общее решение исходного уравнения, как произведение u на v:

7.Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Дифференциальные уравнения 2-го порядка в общем виде можно записать как

или

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида .

Если , то уравнение имеет вид

Пример. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения

y'' – 4y' + 13y = 0, y(0) = 1, y '(0) = 3

Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение: