Метацентры и метацентрические радиусы

Предположим, что судно из исходного положения без крена и дифферента совершает поперечные или продольные равнообъемные наклонения. При этом плоскостью продольных наклонений будет вертикальная плоскость, которая совпадает с ДП, а плоскость поперечных наклонений – вертикальная плоскость, которая совпадает с плоскостью шпангоута, проходящего через ЦВ.

5.3.1. Поперечные наклонения. В прямом положении судна ЦВ находится в ДП (точка С) и линия действия силы плавучести γV также лежит в ДП (рис. 34). При поперечном наклонении судна на угол Θ изменяется форма погруженного объема, ЦВ перемещается в сторону наклонения из точки С в точку С_Θ и линия действия силы плавучести будет наклонена к ДП под углом Θ.

Точка пересечения линий действия силы плавучести при бесконечно малом поперечном равнообъемном наклонении судна называется поперечным метацентром (точка m на рис.34). Радиус кривизны траектории ЦВ r (возвышение поперечного метацентра над ЦВ) называется поперечным метацентрическим радиусом.

В общем случае траектория ЦВ является сложной пространственной кривой и каждому углу наклонения соответствует свое положение метацентра (рис.35). Однако для малых равнообъемных наклонений с известным приближением можно принять, что траектория

ЦВ лежит в плоскости наклонения и является дугой окружности с центром в точке m. Таким образом, можно считать, что в процессе малого поперечного равнообъемного наклонения судна из прямого положения поперечный метацентр лежит в ДП и своего положения не меняет (r = const).

Рис.34. Перемещение ЦВ при Рис.35. Перемещение ЦВ при

малых наклонениях больших наклонениях

Рис.36. К выводу выражения для поперечного метацентрического радиуса

Согласно известной теореме механики при перемещении тела, принадлежащей системе тел, центр тяжести всей системы перемешается в том же направлении параллельно перемещению тела, причем эти перемещения обратно пропорциональны силам тяжести тела и системы соответственно. Эту теорему можно распространить и на объемы однородных тел. Обозначим: С С_Θ – перемещение ЦВ (геометрического центра объема V), b – перемещение геометрического центра клиновидного объема v. Тогда в соответствии с теоремой

= , откуда: С С_Θ = .

Для элемента длины судна dx, полагая, что клиновидный объем имеет в плоскости шпангоута форму треугольника, получим:

dv dx y tgΘ y,

или при малом угле dv y² Θ dx.

Если b y, тогда: dv b = y³ Θ dx.

Интегрируя, получим: v b = Θ y³ dx,

или: v b = ΘJ_x,

где J_x = y dx – момент инерции площади ватерлинии относительно продольной центральной оси.

Тогда выражение для перемещения ЦВ будет иметь вид:

С С_Θ = Θ.

Как видно из рис. 36, при малом угле Θ

С С_Θ r Θ.

Сопоставляя выражения, найдем, что поперечный метацентрический радиус:

r = .

Аппликата поперечного метацентра:

z_m = z_c + r = z_c + .

5.3.2. Продольные наклонения(рис.37). По аналогии с поперечными наклонениями точка пересечения линий действия силы плавучести при бесконечно малом продольном равнообъемном наклонении судна называется продольным метацентром (точка М на рис.37). Возвышение продольного метацентра над ЦВ называется продольным метацентрическим радиусом. Величина продольного радиуса определяется выражением:

R = ,

где J_yf – момент инерции площади ватерлинии относительно поперечной центральной оси.

Рис.37.К выводу выражения

для продольного

метацентрического радиуса

Аппликата продольного метацентра:

z_м= z_c + R = z_c + .