Урок № 2

● Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от некоторой точки , лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности.

Существуют два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

● Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если

или .

(4.3.1)

Вертикальных асимптоты ищутся среди точек разрыва.

Пример 4.3.1. Найти вертикальные асимптоты графиков функций:

1)

2)

Решение.

1) Вертикальные асимптоты ищутся среди точек разрыва, т. е. в нашем случае рассмотрим .

– вертикальная асимптота.

2) Очевидно, вертикальных асимптот нет, т. к. нет точек разрыва.

● Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы:

левая наклонная асимптота при	правая наклонная асимптота при	(4.3.2)
, ,	, .

Замечание. В некоторых случаях функция асимптотически приближается к одной и той же прямой при и , тогда наклонная асимптота будет одна при .

● При прямая примет вид и наклонная асимптота будет горизонтальной.

Пример 4.3.2. Найти наклонные асимптоты графиков функций

1)

2)

Решение.

1)

Соответственно,

Таким образом, имеется правая (при ) наклонная асимптота . Аналогично можно показать, что эта же прямая является наклонной асимптотой и при .

Таким образом, при так и при функция асимптотически приближается к одной и той же прямой (рис. 4.3.1).

2)

Соответственно,

Таким образом, имеется правая (при ), т. к. горизонтальная асимптота .

Следовательно, при асимптот не будет ( рис. 4.3.2).

Пример 4.3.3. Найти асимптоты графиков функций

1)

2)

Решение.

1) Очевидно, вертикальных асимптот нет, т. к. нет точек разрыва.

Исследуем поведение функции при , т. е. найдём наклонные (горизонтальные) асимптоты .

;

Соответственно, .

Таким образом, – правая наклонная асимптота.

Соответственно,

Таким образом, – левая наклонная асимптота (рис.4.3.3).

2) Функция определена в интервалах .

Так как

,

,

то только прямая является вертикальной асимптотой.

Исследуем поведение функции при , т. е. найдём наклонные (горизонтальные) асимптоты .

Соответственно,

Таким образом, существует правая наклонная асимптота .

Соответственно,

Таким образом, правая наклонная асимптота (рис. 4.3.4).

Урок № 2

Тема: Траектория. Пройденный путь.