Метод прямоугольников

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой:

Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей. Обозначим Dх_i = h шаг разбиения. Формула прямоугольника применяется к каждому отрезку. В качестве точек x_i выбираются левые(x_i = х_{i – 1}) или правые (x_i = х_i ) границы элементарных отрезков Соответственно, для этих двух случаев можно записать формулы метода прямоугольников:

Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков: точка . Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f(x) в середине оснований . Получим формулу:

, где или

Графическая интерпретация для левых, правых и центральных прямоугольников:

Метод трапеций

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции у=f(х) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (х_i, у_i). В этом случае площадь всей криволинейной трапеции складывается из площадей элементарных прямоугольных трапеций

Площадь каждой трапеции определяется по формуле:

, ,

где n - число интервалов разбиения. , i=1,2,...,n .

Складывая площади элементарных трапеций, получим формулу трапеций для численного интегрирования:

или

Эти формулы можно представить в виде:

или

Метод парабол (формула Симпсона)

Метод парабол – метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций. В основе формулы Симпсона лежит квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [a,b] по трем равноотстоящим узлам.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и требуется вычислить определенный интеграл

Разобьем интервал интегрирования [a, b] на n элементарных отрезков [x_2i-2; x_2i],
i = 1, 2, ..., n длины 2h = (b-a)/n точками a = x₀ < x₂ < x₄ < ... < x_2n-2 <x_2n = b. Пусть точки x_2i-1, i = 1, 2, ..., n являются серединами отрезков [x_2i-2; x_2i], i = 1, 2, ..., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства x_i = a + i×h, i = 1, 2, ..., n.

На каждом интервале [x_2i-2; x_2i], i = 1, 2, ..., n подынтегральная функция приближается квадратичной параболой y = a_ix² + b_ix + c_i, проходящей через точки

(x_2i-2;f(x_2i-2)), (x_2i-1;f(x_2i-1)), (x_2i;f(x_2i))

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять , который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница.

Геометрически это выглядит так:

Пусть x_2i-2 = 0 (мы всегда можем к этому прийти, проведя соответствующее геометрическое преобразования сдвига для любого i = 1, 2, ..., n).

Можно доказать, что через точки (x_2i-2;f(x_2i-2)), (x_2i-1;f(x_2i-1)), (x_2i;f(x_2i)) проходит только одна квадратичная парабола y = a_ix² + b_ix + c_i

Перейдем к нахождению интеграла

Очевидно:
f(x_2i-2) = f(0) = a_i×0² + b_i×0 + c_i

f(x_2i-1) = f(h) = a_i×h² + b_i×h + c_i

f(x_2i) = f(2h) = 4a_i×h² +2 b_i×h + c_i

Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:

Таким образом, можно получить формулу метода парабол:

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид: