Численное интегрирование

Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования.

Постановка задачи

Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования.

Вычислить определенный интеграл

при условии, что границы интеграла а и b конечны и первообразная F(х) является непрерывной функцией х на всем интервале хÎ[a,b]. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах ота до bможет быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Однако этой формулой часто нельзя воспользоваться по следующим причинам:

- первообразная функция F(x) слишком сложна и ее нельзя выразить в элементарных функциях;

- функция f(x) задана в виде таблицы, что особенно часто встречается в задачах при обработке экспериментальных данных;

В этих случаях используются методы численного интегрирования. Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям.

Общий подход к решению задачи будет следующим. Определенный интеграл I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью х и переменными х=а и х=b. Необходимо вычислить интеграл, разбивая интервал [a,b] на множество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их.

В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол, сплайнов и др.).