Тангенциальная составляющая ускорения 18 страница

Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок 1—2, то работа А12 всех сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте, выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемещении заряда Q0 на участке 12, согласно (97.4),

(100.1)

Э.д.с. как и сила тока I, величина скалярная. Ее необходимо брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком в зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если э.д.с. способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении (в направлении 1—2), то > 0. Если э.д.с. препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то < 0. За время t в проводнике выделяется теплота (см. (99.5))

(100.2)

Из формул (100.1) и (100.2) получим

(100.3)

откуда

(100.4)

Выражение (100.3) или (100.4) представляет собойзакон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме, который являетсяобобщенным законом Ома.

Если на данном участке цепи источник тока отсутствует (=0), то из (100.4) приходим к закону Ома для однородного участка цепи (98.1):

(при отсутствии сторонних сил напряжение на концах участка равно разности потенци­алов (см. § 97)). Если же электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2 со­впадают, j1=j2; тогда из (100.4) получаем закон Ома для замкнутой цепи:

где - э.д.с., действующая в цепи, R — суммарное сопротивление всей цепи. В общем случае R=r+R1, где r — внутреннее сопротивление источника тока, R1со­противление внешней цепи. Поэтому законОма для замкнутой цепи будет иметь вид

Если цепь разомкнута и, следовательно, в ней ток отсутствует (I = 0), то из закона Ома (100.4) получим, что =j1—j2, т. е. э.д.с., действующая в разомкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах. Следовательно, для того чтобы найти э.д.с. источника тока, надо измерить разность потенциалов на егоклеммах при разомкнутой цепи.

§ 101. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Обобщенный закон Ома (см. (100.3)) позволяет рассчитать практически любую слож­ную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколь­ко замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока и т. д.), довольно сложен. Эта задача решает­ся более просто с помощью двух правил Кирхгофа.*

*Г. Кирхгоф (1824—1887) — немецкий физик.

 

Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке провод­ника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис. 149). Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с напра­влением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно записать:



Складывая почленно эти уравнения, получим

(101.1)

Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ii на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. , встречающихся в этом контуре:

(101.2)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведе­ние IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, считаются поло­жительными, против — отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматрива­емой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измеритель­ногомоста Уитстона.* Сопротивления R1, R2, R3и R4 образуют его «плечи». Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. и сопротивлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением RG. Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

(101.3)

Для контуров АСВA, ACDA и CBDC, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

(101.4)

* Ч. Уитстон (1802—1875) — английский физик.

Если известны все сопротивления и э.д.с., то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R2, R3 и R4, можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю (IG = 0). Тогда из (101.3) найдем

(101.5)

а из (101.4) получим

(101.6)

Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

(101.7)

Таким образом, в случае равновесного моста (IG = 0) при определении искомого сопротивления R1 э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

На практике обычно используетсяреохордный мост Уитстона (рис. 151), где сопротивле­ния R3и R4 представляют собой длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение R3/R4 можно заменить отношением l3/l4. Тогда, используя выражение (101.7), можно записать

(101.8)



Длины l3 и l4 легко измеряются по шкале, a R2 всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное сопротивление R1.

Задачи

12.1. По медному проводнику сечением 1 мм2 течет ток; сила тока 1 А. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди 8,9 г/см3. [74 мкм/с]

12.2. Определить, во сколько раз возрастет сила тока, проходящего через платиновую печь, если при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от t1=20°C до t2=1200°С. Температурный коэффициент сопротивления платины принять равным 3,65×103 К–1. [В 5 раз]

12.3. По медному проводу сечением 0,3 мм2 течет ток 0,3 А. Определить силу, действую­щую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление меди 17 нОм×м. [2,72×10–21 Н]

12.4. Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убывает от I0=3 А до I=0 за 30 с. Определить выделившееся за это время в проводнике количество теплоты. [900 Дж].

12.5. Плотность электрического тока в алюминиевом проводе равна 5 А/см2. Определить удель­ную тепловую мощность тока, если удельное сопротивление алюминия 26 нОм×м. [66 Дж/(м3×с)]

12.6. Определить внутреннее сопротивление r источника тока, если во внешней цепи при силе тока I1=5 А выделяется мощность P1=10 Вт, а при силе тока I2=8 А — мощность P2=12 Вт. [0,17 Ом]

12.7. Три источника тока с э.д.с. E1=1,8 В, E2=1,4 В и E3=1,1 В соединены накоротко одно­именными полюсами. Внутреннее сопротивление первого источника r1=0,4 Ом, второ­го — r2=0,6 Ом. Определить внутреннее сопротивление третьего источника, если через первый источник идет ток I1=1,13 A. [0,2 Ом]

Глава 13 Электрические токи в металлах, вакууме и газах

§ 102. Элементарная классическая теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т. е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости метал­лов, созданной немецким физиком П. Друде (1863—1906) и разработанной впоследст­вии нидерландским физиком X. Лоренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории.

Первый из таких опытов —опыт Рикке* (1901), в котором в течение года электрический ток пропускался через три последовательно соединенных с тщательно отшлифованными торцами металлических цилиндра (Сu, Аl, Сu) одинакового радиуса. Несмотря на то что общий заряд, прошедший через эти цилиндры, достигал огромного значения (»3,5×106 Кл), никаких, даже микроскопических, следов переноса вещества не обнаружилось. Это явилось экспериментальным доказательством того, что ионы в металлах не участвуют в переносе электричества, а перенос заряда в металлах осуществляется частицами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами могли быть открытые в 1897 г. английским физиком Д. Томсоном (1856—1940) электроны.

*К. Рикке (1845—1915) — немецкий физик.

 

Для доказательства этого предположения необходимо было определить знак и ве­личину удельного заряда носителей (отношение заряда носителя к его массе). Идея подобных опытов заключалась в следующем: если в металле имеются подвижные, слабо связанные с решеткой носители тока, то при резком торможении проводника эти частицы должны по инерции смещаться вперед,как смещаются вперед пассажиры, стоящие в вагоне при его торможении. Результатом смещения зарядов должен быть импульс тока; по направлению тока можно определить знак носителей тока, а зная размеры и сопротивление проводника, можно вычислить удельный заряд носителей. Идея этих опытов (1913) и их качественное воплощение принадлежат российским физикам С. Л. Мандельштаму (1879—1944) и Н. Д. Папалекси (1880—1947). Эти опы­ты в 1916 г. были усовершенствованы и проведены американским физиком Р. Толменом (1881—1948) и ранее шотландским физиком Б. Стюартом (1828—1887). Ими экспериментально доказано, что носители тока в металлах имеют отрицательный заряд, а их удельный заряд приблизительно одинаков для всех исследованных метал­лов. По значению удельного заряда носителей электрического тока и по определенному ранее Р. Милликеном элементарному электрическому заряду была определена их масса. Оказалось, что значения удельного заряда и массы носителей тока и электронов, движущихся в вакууме, совпадали. Таким образом, было окончательно доказано, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.

Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристаллической решетки металла (в результате сближения изолированных атомов) валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атом­ными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электро­ны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной те­ории металлов, свойствами идеального газа.

Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. По теории Друде—Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения,как и молекулы одноатомного газа. Поэтому, применяя выводы молекулярно-кинетической теории (см. (44.3)), можно найти среднюю скорость теплового движения электронов

которая для T=300 К равна 1,1×105 м/с. Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока.

При наложении внешнего электрического поля на металлический проводник кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное движение, т. е. возникает электрический ток. Среднюю скорость ávñ упорядоченного движения электронов мож­но оценить согласно формуле (96.1) для плотности тока: j=пeávñ. Выбрав допустимую плотность тока, например для медных проводов 107 А/м2, получим, что при концент­рации носителей тока n = 8×1028м–3 средняя скорость ávñ упорядоченного движения электронов равна 7,8×10–4 м/с. Следовательно, ávñ<<áuñ, т. е. даже при очень боль­ших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов, обуслов­ливающего электрический ток, значительно меньше их скорости теплового движения. Поэтому при вычислениях результирующую скорость ávñ + áuñ можно заменять скоростью теплового движения áuñ.

Казалось бы, полученный результат противоречит факту практически мгновенной передачи электрических сигналов на большие расстояния. Дело в том, что замыкание электрической цепи влечет за собой распространение электрического поля со скоро­стью с (c=3×108м/с). Через время t=l/c (l — длина цепи) вдоль цепи установится стационарное электрическое поле и в ней начнется упорядоченное движение электро­нов. Поэтому электрический ток возникает в цепи практически одновременно с ее замыканием.

§ 103. Вывод основных законов электрического тока в классической теории электропроводности металлов

1. Закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью E=const. Co стороны поля заряд е испытывает действие силы F = eE и приобретает ускорение a=F/m=eE/m. Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

где átñ — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с иона­ми решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядочен­ного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направлен­ного движения электрона

(103.1)

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоро­стям, поэтому среднее время átñ свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега álñ и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной áuñ + ávñ (áuñ — средняя скорость теп­лового движения электронов). В § 102 было показано, что ávñ<<áuñ, поэтому

Подставив значение átñ в формулу (103.1), получим

Плотность тока в металлическом проводнике, по (96.1),

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т. е. получи­ли закон Ома в дифференциальной форме (ср. с (98.4)). Коэффициент пропорциональ­ности между j и E есть не что иное, как удельная проводимость материала

(103.2)

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

2. Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

(103.3)

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т. е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем ázñ сто­лкновений:

(103.4)

Если n — концентрация электронов, то в единицу времени происходит пázñ столкнове­ний и решетке передается энергия

(103.5)

которая идет на нагревание проводника. Подставив (103.3) и (103.4) в (103.5), получим таким образом энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника за единицу времени,

(103.6)

Величина w является удельной тепловой мощностью тока (см. § 99). Коэффициент пропорциональности между w и E2 по (103.2) есть удельная проводимость g; следовате­льно, выражение (103.6)—закон Джоуля—Ленца в дифференциальной форме (ср. с (99.7)).

3. Закон ВидеманаФранца. Металлы обладаюткак большой электропровод­ностью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы—свободные электроны, которые, перемещаясь в металле, переносят не только электрический заряд, но и присущую им энергию хаотического (теплового) движения, т. е. осуществляют перенос теплоты.

Видеманом и Францем в 1853 г. экспериментально установлен закон, согласно которому отношение теплопроводности (l) к удельной проводимости (g) для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорциональ­но термодинамической температуре:

где b — постоянная, не зависящая от рода металла.

Элементарная классическая теория электропроводности металлов позволила найти значение b: b=3(k/e)2, где k—постоянная Больцмана. Это значение хорошо согласуется с опытными данными. Однако, как оказалось впоследствии, это согласие теоретического значения с опытным случайно. Лоренц, применив к электронному газу статистику Максвелла — Больцмана, учтя тем самым распределение электронов по скоростям, получил b=2(k/e)2, что привело к резкому расхождению теории с опытом.

Таким образом, классическая теория электропроводности металлов объяснила законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана — Франца. Однако она помимо рассмотренных противоречий в законе Видемана — Франца столкнулась еще с рядом трудностей при объяснении различных опыт­ных данных. Рассмотрим некоторые из них.

Температурная зависимость сопротивления. Из формулы удельной проводимости (103.2) следует, что сопротивление металлов, т. е. величина, обратно пропорциональ­ная g, должна возрастать пропорционально (в (103.2) п и álñ от температуры не зависят, а áuñ~ ). Этот вывод электронной теории противоречит опытным данным, согласно которым R~T (см. § 98).

Оценка средней длины свободного пробега электронов в металлах. Чтобы по фор­муле (103.2) получить g, совпадающие с опытными значениями, надо принимать álñ значительно больше истинных, иными словами, предполагать, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде — Лоренца.

Теплоемкость металлов. Теплоемкость металла складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. Поэтому атомная (т. е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость диэлектриков, у которых нет свободных электронов. Со­гласно закону Дюлонга и Пти (см. § 73), теплоемкость одноатомного кристалла равна 3R. Учтем, что теплоемкость одноатомного электронного газа равна 3/2R. Тогда атомная теплоемкость металлов должна быть близка к 4,5R. Однако опыт доказывает, что она равна 3R, т. е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказывается на значении теплоемкости, что не объясняется классичес­кой электронной теорией.

Указанные расхождения теории с опытом можно объяснить тем, что движение электронов в металлах подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой механики и, следовательно, поведение электронов проводимости надо описывать не статистикой Максвелла — Больцмана, а квантовой статистикой. Поэтому объяснить затруднения элементарной классической теории электропроводности метал­лов можно лишь квантовой теорией, которая будет рассмотрена в дальнейшем. Надо, однако, отметить, что классическая электронная теория не утратила своего значения и до настоящего времени, таккак во многих случаях (например, при малой концент­рации электронов проводимости и высокой температуре) она дает правильные качест­венные результаты и является по сравнению с квантовой теорией простой и нагляд­ной.

§ 104. Работа выхода электронов из металла

Как показывает опыт, свободные электроны при обычных температурах практически не покидают металл. Следовательно, в поверхностном слое металла должно быть задерживающее электрическое поле, препятствующее выходу электронов из металла в окружающий вакуум. Работа, которую нужно затратить для удаления электрона из металла в вакуум, называется работой выхода. Укажем две вероятные причины появле­ния работы выхода:

1. Если электрон по какой-то причине удаляется из металла, то в том месте, которое электрон покинул, возникает избыточный положительный заряд и электрон притягивается к индуцированному им самим положительному заряду.

2. Отдельные электроны, покидая металл, удаляются от него на расстояния порядка атомных и создают тем самым над поверхностью металла «электронное облако», плотность которого быстро убывает с расстоянием. Это облако вместе с наружным слоем положительных ионов решетки образует двойной электрический слой, поле которого подобно полю плоского конденсатора. Толщина этого слоя равна нескольким межатомным расстояниям (10–10—10–9 м). Он не создает электрического поля во внешнем пространстве, но препятствует выходу свободных электронов из металла.

Таким образом, электрон при вылете из металла должен преодолеть задержива­ющее его электрическое поле двойного слоя. Разность потенциалов Dj в этом слое, называемая поверхностным скачком потенциала, определяется работой выхода (А)электрона из металла:

где е — заряд электрона. Так как вне двойного слоя электрическое поле отсутствует, то потенциал среды равен нулю, а внутри металла потенциал положителен и равен Dj. Потенциальная энергия свободного электрона внутри металла равна —еDj и является относительно вакуума отрицательной. Исходя из этого можно считать, что весь объем металла для электронов проводимости представляет потенциальную яму с плоским дном, глубина которой равна работе выхода А.

Работа выхода выражается вэлектрон-вольтах (эВ): 1 эВ равен работе, соверша­емой силами поля при перемещении элементарного электрического заряда (заряда, равного заряду электрона) при прохождении им разности потенциалов в 1 В. Так как заряд электрона равен 1,6×10–19 Кл, то 1 эВ= 1,6×10–19 Дж.

Работа выхода зависит от химической природы металлов и от чистоты их поверх­ности и колеблется в пределах нескольких электрон-вольт (например, у калия A = 2,2 эВ, у платины A=6,3 эВ). Подобрав определенным образом покрытие поверх­ности, можно значительно уменьшить работу выхода. Например, если нанести на поверхность вольфрама = 4,5 эВ) слой оксида щелочно-земельного металла (Са, Sr, Ва), то работа выхода снижается до 2 эВ.

§ 105. Эмиссионные явления и их применение

Если сообщить электронам в металлах энергию, необходимую для преодоления рабо­ты выхода, то часть электронов может покинуть металл, в результате чего наблюдает­ся явление испускания электронов, или электронной эмиссии. В зависимости от способа сообщения электронам энергии различают термоэлектронную, фотоэлектронную, вто­ричную электронную и автоэлектронную эмиссии.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Тангенциальная составляющая ускорения 17 страница | Тангенциальная составляющая ускорения 19 страница


Дата добавления: 2017-04-20; просмотров: 8; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2017 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.07 сек.