Нормальные и касательные напряжения по наклонной площадке

Рассмотрим элементарный тетраэдр ABCD, три грани которого параллельны координатным плоскостям, а нормаль N к четвертой грани составляет с координатными осями углы, косинусы ко­торых равны l, т и п (рис. 6). Будем считать заданными составляющие нормальные и касательные напряжения, действующие по площадкам, лежащим в координатных плоскостях, и определим напряжения на площадке BCD. Выберем новую систему прямо­угольных осей координат х1 , y1 иz1, так чтобы ось х1 совпадала с нормалью N , а оси у1 и z1 лежали в плоскости площадки BCD. Каждая из этих осей будет иметь в системе осей x, y, z свои направляющие косинусы, указанные в табл. 1.

 

Рис. 6

 

Таблица 1

Оси x y z
x1 l1 m1 n1
y1 l2 m2 n2
z1 l3 m3 n3

 

Полное напряжение рN, действующее по площадке BCD, разложим на составляющие рNx , pNy и pNz . Нормальное напря­жение действующее по пло­щадке BCD, можно рассматри­вать как проекцию на ось N (или х1) полного напряжения pN , действующего по площадке BCD, а полное напряжение рN - как равнодействующую трех его проекций. Так как проекция равнодействующей равна сумме проекций составляю­щих, то

.

Подставив выражения (1.4) и произ­ведя необходимые сокращения, запишем

sN = sx l2 + sy m2 + sz n2 + 2txy lm + 2tyz mn + 2tzx nl. (1.6)

Спроектировав составляющие рNx , pNy и pNz на ось у1 (рис. 6), получим

,

а заменив их выражениями (1.4) и приведя по­добные члены, -

(1.7,а)

Аналогично из суммы проекций на ось z1 найдем выражение для третьего составляющего касательного напряжения

(1.7,б)

С помощью формул (1.6) и (1.7) можно преобразовать состав­ляющие тензора напряжений при переходе от одной системы координат х, у, z к новой системе координат х1, у1, z1.

Для записи (1.6), (1.7) и ряда других формул теории упругости можно установить последовательность чередования индексов у составляющих напряжений и чередова­ния направляющих косинусов, показанную схематически на рис. 6.

 








Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 1057;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.