Определение главных напряжений и наибольших касательных напряжений в точке

В курсах математической теории упругости доказывается, что в любой точке тела можно найти три взаимно перпендикуляр­ные главные площадки, на которых отсутствуют касательные на­пряжения. Нормальные напряжения по этим площадкам назы­ваются главными напряжениями. Одно из них представляет собой наибольшее напряжение в данной точке, другое ¾ наименьшее, а третье имеет величину, промежуточную между первыми двумя.

Предположим, что наклонная грань BCD тетраэдра, выделен­ного у точки А напряженного тела (рис. 7), — главная площадка. Обозначим направляющие косинусы нормали к глав­ной площадке l, m и п. Полное напряжение рv, действующее по главной площадке, направлено по нормали v и равно главному нормальному напряжению. Касательное напряжение равно нулю.

Составим по формулам (1.4) выражения для проекций напряжения рv на оси координат:

.

С другой стороны, те же проекции pvx = pvl; pvy = pvm; pvz = pvn.

Рис. 7

Так как левые части в уравнениях равны, приравни­ваем правы части и получаем систему

, (1.8)

в которой четыре неизвестных: главное напряжение рv и три направляющих косинуса. Четвертое недостающее уравнение системы — условие равенства единице суммы квадратов направляю­щих косинусов:

l2 + m2 + n2 = 1. (1.9)

Из соотношения следует, что направляющие косинусы не могут все одновременно быть равны нулю, поэтому система уравнений с неизвестными l, т и п должна иметь решения, отличные от нуля, а значит ее определитель должен равняться нулю. Раскрыв этот определитель, получим

,

где введены обозначения

.

Решив кубическое уравнение, получим три значения его корня, т. е. три главных напряжения, из которых алгебраи­чески наибольшее назовем , наименьшее , а промежуточ­ное . Величины главных напря­жений в точке, не зависят от выбора осей координат, а зависят от формы и размеров тела и его нагружения. Следова­тельно, коэффициенты а1 и а2 и свободный член а3 в этом урав­нении также не должны зависеть от выбора осей коорди­нат. Поэтому функции а1 и а2составляющих напряжений и сво­бодный член а3, называются инвариантами системы осей координат.

Так как число главных площадок равно трем, должно быть найдено девять направляющих косинусов. Чтобы найти, например, направляющие косинусы l1 , т1, п1 нормали к площадке, по ко­торой действует главное напряжение , надо подставить значе­ние в какие-нибудь два уравнения (1.8).

Решив эти два уравнения, найдем значения двух направляю­щих косинусов, например l1 и m1 , выраженные через п1. Подставив найденные значения l1 и т1 в уравнение (1.9), найдем третий направляющий косинус п1 пер­вой главной площадки.

Рассмотрим снова элементарный тетраэдр у точки А (рис. 8). Предположим, что три взаимно перпендикулярные его грани представляют собой глав­ные площадки в точке А.

Рис. 8

 

Составим выражение для касательного напряжения t, дей­ствующего по наклонной грани BCD тетраэдра, имеющей направ­ляющие косинусы l, т и n, и найдем экстремальные значения этого напряжения и поло­жение площадок, по кото­рым они действуют. На основании формулы (1.1,б) квадрат касательного на­пряжения по площадке BCD

.

Ввиду того, что грани тетраэдра ACD, ACВ и ABD — главные площад­ки, подстановка в это уравнение выражений для pN , вычисленных по формулам (1.1,а), (1.4) и (1.6), дает

Из соотношения (1.9)

n2 = 1 – l2 – m2,

тогда

.

Наибольшее значение касательного напряжения tN найдетсяиз условий

,

дающих два уравнения с двумя неизвестными l и m.

Предположим, что обозначены соответственно , тогда последние два уравнения примут вид двух уравне­ний третьей степени относительно l и т

.

Если отбросить не отвечающие исходным условиям задачи решения системы уравнений, останутся следующие значения двух групп на­правляющих косинусов:

Первая группа при положительных т и п определяет нормаль, лежащую в плоскости у0z и составляющую с этими осями углы в 45°, или площадку, делящую пополам прямой угол между главными площадками, по которым действуют напряжения и . При отрицательных т и п первая группа определяет нормаль и площадку соответственно перпендикулярные к первым (рис. 9, а).

А б

 

в

Рис. 9

 

Вторая группа определяет две площадки, делящие пополам прямые углы между главными пло­щадками, по которым действуют и (рис. 9, б).

Можно получить новую систему кубических уравнений, из которой можно найти третью группу направляющих косинусов:

3)

определяющих еще две взаимно перпендикулярные площадки (рис. 9, в).

Таким образом, найдены три пары взаимно пер­пендикулярных площадок. По каждой из этих пар касательные напряжения одинаковы и представляют наибольшее напря­жение для определенной группы площадок.

Величина трех наибольших касательных напряжений полу­чается путем подстановки значений l, т и п первой, второй и тре­тьей групп в уравнение для . Каждое из них равно полуразности двух главных напряжений:

(1.10)

 








Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 1584;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.