Определение главных напряжений и наибольших касательных напряжений в точке
В курсах математической теории упругости доказывается, что в любой точке тела можно найти три взаимно перпендикулярные главные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Нормальные напряжения по этим площадкам называются главными напряжениями. Одно из них представляет собой наибольшее напряжение в данной точке, другое ¾ наименьшее, а третье имеет величину, промежуточную между первыми двумя.
Предположим, что наклонная грань BCD тетраэдра, выделенного у точки А напряженного тела (рис. 7), — главная площадка. Обозначим направляющие косинусы нормали к главной площадке l, m и п. Полное напряжение рv, действующее по главной площадке, направлено по нормали v и равно главному нормальному напряжению. Касательное напряжение равно нулю.
Составим по формулам (1.4) выражения для проекций напряжения рv на оси координат:
.
С другой стороны, те же проекции pvx = pvl; pvy = pvm; pvz = pvn.
Рис. 7
Так как левые части в уравнениях равны, приравниваем правы части и получаем систему
, (1.8)
в которой четыре неизвестных: главное напряжение рv и три направляющих косинуса. Четвертое недостающее уравнение системы — условие равенства единице суммы квадратов направляющих косинусов:
l2 + m2 + n2 = 1. (1.9)
Из соотношения следует, что направляющие косинусы не могут все одновременно быть равны нулю, поэтому система уравнений с неизвестными l, т и п должна иметь решения, отличные от нуля, а значит ее определитель должен равняться нулю. Раскрыв этот определитель, получим
,
где введены обозначения
.
Решив кубическое уравнение, получим три значения его корня, т. е. три главных напряжения, из которых алгебраически наибольшее назовем , наименьшее , а промежуточное . Величины главных напряжений в точке, не зависят от выбора осей координат, а зависят от формы и размеров тела и его нагружения. Следовательно, коэффициенты а1 и а2 и свободный член а3 в этом уравнении также не должны зависеть от выбора осей координат. Поэтому функции а1 и а2составляющих напряжений и свободный член а3, называются инвариантами системы осей координат.
Так как число главных площадок равно трем, должно быть найдено девять направляющих косинусов. Чтобы найти, например, направляющие косинусы l1 , т1, п1 нормали к площадке, по которой действует главное напряжение , надо подставить значение в какие-нибудь два уравнения (1.8).
Решив эти два уравнения, найдем значения двух направляющих косинусов, например l1 и m1 , выраженные через п1. Подставив найденные значения l1 и т1 в уравнение (1.9), найдем третий направляющий косинус п1 первой главной площадки.
Рассмотрим снова элементарный тетраэдр у точки А (рис. 8). Предположим, что три взаимно перпендикулярные его грани представляют собой главные площадки в точке А.
Рис. 8
Составим выражение для касательного напряжения t, действующего по наклонной грани BCD тетраэдра, имеющей направляющие косинусы l, т и n, и найдем экстремальные значения этого напряжения и положение площадок, по которым они действуют. На основании формулы (1.1,б) квадрат касательного напряжения по площадке BCD
.
Ввиду того, что грани тетраэдра ACD, ACВ и ABD — главные площадки, подстановка в это уравнение выражений для pN , вычисленных по формулам (1.1,а), (1.4) и (1.6), дает
Из соотношения (1.9)
n2 = 1 – l2 – m2,
тогда
.
Наибольшее значение касательного напряжения tN найдетсяиз условий
,
дающих два уравнения с двумя неизвестными l и m.
Предположим, что обозначены соответственно , тогда последние два уравнения примут вид двух уравнений третьей степени относительно l и т
.
Если отбросить не отвечающие исходным условиям задачи решения системы уравнений, останутся следующие значения двух групп направляющих косинусов:
Первая группа при положительных т и п определяет нормаль, лежащую в плоскости у0z и составляющую с этими осями углы в 45°, или площадку, делящую пополам прямой угол между главными площадками, по которым действуют напряжения и . При отрицательных т и п первая группа определяет нормаль и площадку соответственно перпендикулярные к первым (рис. 9, а).
А б
в
Рис. 9
Вторая группа определяет две площадки, делящие пополам прямые углы между главными площадками, по которым действуют и (рис. 9, б).
Можно получить новую систему кубических уравнений, из которой можно найти третью группу направляющих косинусов:
3)
определяющих еще две взаимно перпендикулярные площадки (рис. 9, в).
Таким образом, найдены три пары взаимно перпендикулярных площадок. По каждой из этих пар касательные напряжения одинаковы и представляют наибольшее напряжение для определенной группы площадок.
Величина трех наибольших касательных напряжений получается путем подстановки значений l, т и п первой, второй и третьей групп в уравнение для . Каждое из них равно полуразности двух главных напряжений:
(1.10)
Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 1584;