Понятие о перемещениях. Зависимости между деформациями и перемещениями

Предположим, что упругое тело закреплено и не может перемещаться в пространстве. Тогда его точки могут изменять положение в пространстве только за счет деформации тела.

Пусть какая - нибудь точка А упругого тела (рис. 11), имевшая до де­формации координаты х, у и z, вследствие деформа­ции тела оказалась в поло­жении A1 с координатами х + и, у + v и z + w. Отрезок AA1 называется линейным перемещением точки A, а отрезки и, v и w — проекциями этого перемещения на оси координат. Переме­щения и их проекции для разных точек различны; они пред­ставляют собой непрерывные (по условиям сплошности) функции координат точки:

u =f1 (x, y, z); v = f2 (x, y, z); w = f3 (x, y, z).

 

Рис. 11

 

Деформированное состояние в точке А (рис. 12, а) будет известно, если будут известны деформации всех трех про­екций элементарного параллелепипеда. Для этого надо знать: относительные линейные деформации трех взаимно перпендикулярных ребер , и и изме­нения прямых углов между ребрами в плоскостях трех его граней, параллельных плоскостяx координат (относительные сдвиги или относительные угловые деформации , , .

а б

Рис. 12

 

Относительное изменение объема элементарного параллелепи­педа при деформации

Если отбросить величины второго и третьего порядка малости,

, (1.14)

где средняя относительная линейная деформация

.

Найдем зависимости между составляющими деформациями и проекциями перемещения на оси координат. Для этого рассмотрим проекцию элементарного параллелепипеда на пло­скость хОу. Пусть заданы первоначальные координаты точки А— х и у и длины проекций ребер dx и dy (рис. 12, б). После дефор­мации тела точка А перейдет в положение A1 , а точка В — в положение В1.

Линейное перемещение точки В вдоль оси х равно сумме ли­нейного перемещения точки А и его приращения, вызванного изменением координаты х при переходе от точки А к точке В. Это приращение равно частному дифференциалу функциии = f1 (x, y, z) по переменной х. Поэтому линейное перемещение точки В равно . Кроме того, вследствие изменения перво­начального прямого угла ВАС на величину точка В1 займет положение В'. Отрезок В1В' представляет изменение пере­мещения v точки А при переходе от точки А к точке В вдоль оси х.

Относительная деформация ребра АВ

аналогично найдем

Изменение прямого угла ВАС в плоскости хОу получим, заменив углы и их тангенсами,

Если пренебречь в скобках частными производными, которые малы по сравнению с единицей, то

Из проекций элементарного параллелепипеда на две другие плоскости координат найдем выражение для относительной линейной де­формации и относительных сдвигов и . В результате получим следующие шест зависимостей между относительными деформациями и перемеще­ниями:

. (1.15)

Зависимости (1.15) получены Коши. Исходя из гео­метрического смысла частных производных, стоящих в правой части, можно установить правила знаков: положительное значение относительных линейных деформаций соответствует удлинению, положительное значение отно­сительных сдвигов соответствует уменьшению прямых углов хОу, уОz и zОx.

 








Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 972;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.