Понятие о перемещениях. Зависимости между деформациями и перемещениями
Предположим, что упругое тело закреплено и не может перемещаться в пространстве. Тогда его точки могут изменять положение в пространстве только за счет деформации тела.
Пусть какая - нибудь точка А упругого тела (рис. 11), имевшая до деформации координаты х, у и z, вследствие деформации тела оказалась в положении A1 с координатами х + и, у + v и z + w. Отрезок AA1 называется линейным перемещением точки A, а отрезки и, v и w — проекциями этого перемещения на оси координат. Перемещения и их проекции для разных точек различны; они представляют собой непрерывные (по условиям сплошности) функции координат точки:
u =f1 (x, y, z); v = f2 (x, y, z); w = f3 (x, y, z).
Рис. 11
Деформированное состояние в точке А (рис. 12, а) будет известно, если будут известны деформации всех трех проекций элементарного параллелепипеда. Для этого надо знать: относительные линейные деформации трех взаимно перпендикулярных ребер , и и изменения прямых углов между ребрами в плоскостях трех его граней, параллельных плоскостяx координат (относительные сдвиги или относительные угловые деформации , , .
а | б |
Рис. 12
Относительное изменение объема элементарного параллелепипеда при деформации
Если отбросить величины второго и третьего порядка малости,
, (1.14)
где средняя относительная линейная деформация
.
Найдем зависимости между составляющими деформациями и проекциями перемещения на оси координат. Для этого рассмотрим проекцию элементарного параллелепипеда на плоскость хОу. Пусть заданы первоначальные координаты точки А— х и у и длины проекций ребер dx и dy (рис. 12, б). После деформации тела точка А перейдет в положение A1 , а точка В — в положение В1.
Линейное перемещение точки В вдоль оси х равно сумме линейного перемещения точки А и его приращения, вызванного изменением координаты х при переходе от точки А к точке В. Это приращение равно частному дифференциалу функциии = f1 (x, y, z) по переменной х. Поэтому линейное перемещение точки В равно . Кроме того, вследствие изменения первоначального прямого угла ВАС на величину точка В1 займет положение В'. Отрезок В1В' представляет изменение перемещения v точки А при переходе от точки А к точке В вдоль оси х.
Относительная деформация ребра АВ
аналогично найдем
Изменение прямого угла ВАС в плоскости хОу получим, заменив углы и их тангенсами,
Если пренебречь в скобках частными производными, которые малы по сравнению с единицей, то
Из проекций элементарного параллелепипеда на две другие плоскости координат найдем выражение для относительной линейной деформации и относительных сдвигов и . В результате получим следующие шест зависимостей между относительными деформациями и перемещениями:
. (1.15)
Зависимости (1.15) получены Коши. Исходя из геометрического смысла частных производных, стоящих в правой части, можно установить правила знаков: положительное значение относительных линейных деформаций соответствует удлинению, положительное значение относительных сдвигов соответствует уменьшению прямых углов хОу, уОz и zОx.
Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 972;