Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Т.к. ДПФ однозначно представляет последов-ть конечной длины, то появляется возможность найти ее Z-преобразование через коэффициенты ДПФ этой последовательности.

Z-преобразование последов-ти x(n)имеет вид:

N-1 N-1 K-1

X(z)=Σ x(n)·zˉⁿ =Σ(1/N)·Σ Xp(k)e^[j(2π/N)nk]·zˉⁿ

n=0 n=0 k=0

K-1 N-1

=ΣXp(k)·(1/N)·Σ[e^[j(2π/N)k]·zˉ¹]¹ˉⁿ=

k=0 n=0

N-1

= Σ(1/N)·Xp(k)[(1-z^-N)/(1-zˉ¹· e^[j(2π/N)k)]

k=0

Последнее соотношение показывает, что Z-преобразование последов-ти непосредственно связано с коэффициентами ее ДПФ-я. Для точек на единичной окружности последнее соотношение примет вид :

N-1

X(e^jω)=∑(1/N)·X(k)·{e^(-jω)[(N-1)/2]sin(ωN/2)}/ e^[j(πk/N)]sin(ω/2- πk/N)

k=0

В этом выражении функция [sin(ωN/2)}/ sin(ω/2- πk/N)] интерпалирует значения коэффициентов ДПФ X(k) на всю частотную ось → последняя формула позволяет по коэффициентам ДПФ последов-ти конечной длины найти непрерывный частотный спектр (т.е. это период бесконечной во времени последов-ти). ДПФ дает линейчатый спектр (сигнал бесконечен во времени и периодический).

Интерпаляция позволяет в любой точке частотной оси ориентироваться на численное значение коэфф-та X(k).

Бесконечный во времени сигнал имеет непрерывный спектр. Формула определяет огибающую.

Свойства ДПФ

1) Линейность : если x1(n) и x2(n) – последов-ти конечной длины, а x1(k) и x2(k) – их ДПФ, то ДПФ x1(n)+x2(n)=x1(k)+x2(k) ;

2) Задержка (сдвиг) : если периодическая последов-ть x(n) с периодом в

n-отсчетов и ee ДПФ – x(k), то ДПФ периодической последов-ти x(n-n0)

будет равна : x(k)е^(-j2πn0k/N).

С точки зрения ДПФ-я, последов-ть x(n-n0) получается путем кругового сдвига элементов последов-ти х(n) на n0-отсчетов. При сдвиге функции амплитудный спектр не меняется, меняются соотношения между cos-идальными и

sin-идальными составляющими одной и той же частоты k, т.е. между вещественной и мнимой составляющими.

3) Симметричность : если периодическая последов-ть х(n) с N–отсчетами является действительной, то ее ДПФ x(k) удовлетворяет следующим свойствам симметрии :

1. Re[x(k)]=Re[x(N-k)] Реальная часть спектра – осевая симметрия

2. Im[x(k)]=- Im[x(N-k)] Мнимая – центральная симметрия

3. |x(k)|=|x(N-k)| Амплитудный спектр – осевая симметрия

4. arg x(k)=-arg x(N-k) Фазовый – центральная симметрия

В результате ДПФ, спектр получается периодический.