Характеристичні функції випадкових векторів та їх властивості

Означення 22.2. Характеристичною функцією випадкового вектора називається функція вигляду

, (22.5)

де .

Якщо неперервний вектор із щільністю розподілу , то формула (22.5) набуває вигляд

У випадку дискретного випадкового вектора формула (22.5) буде такою

.

Властивості характеристичних функцій випадкових векторів аналогічні властивостям характеристичних функцій випадкового вектора. Назвемо їх.

1. Характеристична функція випадкового вектора повністю визначає випадковий вектор.

2. , .

3. Характеристична функція рівномірно неперервна в просторі .

4. Якщо компоненти випадкового вектора незалежні у сукупності, то

,

де – характеристична функція компоненти , .

5.Якщо випадковий вектор є афінне перетворення випадкового вектора , тобто , то

,

де та спряжені матриці.

6. Моменти розподілу можна обчислювати через характеристичну функцію за формулою

.

22.4. Характеристична функція гауссівського вектору

Як приклад характеристичної функції випадкових векторів, розглянемо характеристичну функцію гауссівського випадкового вектору.

Для отримання характеристичної функції нормально розподіленого випадкового вектора виберемо в ортобазис із власних векторів кореляційної матриці . Тоді за формулою (19.2) щільність розподілу вектора має вигляд

.

Враховуючи означення характеристичної функції випадкового вектора та властивість 4, маємо

Але вираз, що стоїть під знаком добутку є не що інше, як характеристична функція гауссівської випадкової величини, параметри якої дорівнюють та . Таким чином,

.

Приклад 22.5. Знайти числові характеристики нормально розподіленого випадкового вектора , характеристична функція якого має вигляд

.

Розв’язання. Скористаємось властивістю 6 характеристичної функції та знайдемо відповідні моменти випадкового вектора

.

.

Отже, центр розсіювання заданого випадкового вектора є точка з координатами .

Обчислимо другі моменти випадкового вектора.

.

Отже, дисперсії компонент випадкового вектора дорівнюють , а кореляційний момент . Таким чином, кореляційна матриця має вигляд

.