Оценка параметров линейного регрессионного уравнения

Для оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности. Сущность данного метода заключается в нахождении параметров модели (α, β), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

В итоге получаем систему нормальных уравнений:

(20)

Эту систему можно записать в виде:

(21)

Решая данную систему линейных уравнений с двумя неизвестными получаем оценки наименьших квадратов:

(22, 23)

В уравнениях регрессии параметр α показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных факторов, а параметр β – коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу.

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:

(24)

где - коэффициент регрессии в уравнении связи;

- среднее квадратическое отклонение соответствующего статистически существенного факторного признака.

Пример.

Имеются следующие данные о размере страховой суммы и страховых возмещений на автотранспортные средства одной из страховых компаний.

Таблица 4

Зависимость между размером страховых возмещений и страховой суммой на автотранспорт

Предположим наличие линейной зависимости между рассматриваемыми признаками.

Построим расчетную таблицу для определения параметров линейного уравнения регрессии объема страхового возмещения.

Таблица 5

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии

№	Объем страхового возмещения (тыс.долл.), Yi	Стоимость застрахованного автомобиля (тыс.долл.), Xi	х2	ху
	0,1	8,8	77,44	0,88	0,052
	1,3	9,4	88,36	12,22	0,362
	0,1	10,0	100,00	1,00	0,672
	2,6	10,6	112,36	27,56	0,982
	0,1	11,0	121,00	1,10	1,188
	0,3	11,9	141,61	3,57	1,653
	4,6	12,7	161,29	58,42	2,066
	0,3	13,5	182,25	4,05	2,479
	0,4	15,5	240,25	6,20	3,513
	7,3	16,7	278,89	121,91	4,133
Итого	17,1	120,1	1503,45	236,91	17,100

Система нормальных уравнений имеет вид:

,

Отсюда: а0=-4,4944; а1=0,5166.

Следовательно,

Значения в таблице получены путем подстановки значений факторного признака xi(стоимость застрахованного автомобиля) в полученное уравнение регрессии.

Коэффициент регрессии а1=0,5166 означает, что при увеличении стоимости застрахованного автомобиля на 1 тыс.долл., объем страхового возмещения возрастает в среднем на 0,5166 тыс.долл.