Задачи оптимизации в теплоэнергетике и теплотехнике

Решение многих теоретических и практических задач теплоэнергетики сводится к отысканию экстремума (максимума или минимума) скалярной функции f(x) n-мерного векторного аргумента х.

х – вектор-столбец (точка в n-мерном пространстве).

Например: достижение максимального КПД котельного агрегата; обеспечение минимальной себестоимости тепловой энергии, отпускаемой ТЭЦ; обеспечение минимального значения теплопотерь через теплоизоляцию теплопровода, обмуровку котла, оболочку здания; достижение минимального значений выбросов загрязняющих веществ ТЭС и т.п.

Оптимизируемую функцию f(x) называют целевой функцией или критерием оптимальности.

В дальнейшем мы будем говорить о поиске минимального значения f(x)

f(x)

min

Вектор х*, доставляющий min целевой функции f(x), называют оптимальным.

Задачу нахождения минимума функции f(x) можно заменить эквивалентной задачей поиска максимума функции - f(x).

Если х* - точка минимума для функции у=f(x), то для функции у = -f(x) она является точкой максимума

min f(x) = -max (- f(x)),

аналогично и для случая многих переменных.

Рисунок 9.1 –Графическая интерпретация поиска экстремума функции

В реальных условиях на переменные х_i , i=1,2, .. n и некоторые функции g_i(x) и h_j(x), характеризующие качественные свойства объекта, системы, процесса, могут быть наложены ограничения (условия) вида:

g_i(x) = 0, i = 1,2, .. n

h_j(x) £ 0, j = 1,2, .. m

a £x £b,

где

, .

Такую задачу называют задачей условной оптимизации. При отсутствии ограничений имеет место задача безусловной оптимизации.

Точка х* доставляет глобальный минимум функции одной переменной f(x), заданной на числовой прямой Х, если х ÎХ и f(x*) £ f(x) для всех х ÎХ.

Точка х* называется точкой строгого глобального минимума, если это неравенство выполняется строго.

Если же в выражении f(x*) £ f(x) равенство возможно при х ¹ х*, то реализуется нестрогий минимум,а под решением в этом случае понимают х* ={ х ÎХ : f(x) = f(x*)}.

Рисунок 9.2 –Глобальный минимум функции одной переменной

Рисунок 9.3 –Нестрогий минимум функции одной переменной

Точка х*ÎХ доставляет локальный минимум функции f(x) на множестве Х, если при некотором достаточно малом ε > 0 для всех х ¹х*, хÎХ, удовлетворяющих условию | х-х*| < ε , выполняется неравенство f(x*) ≤ f(x), если неравенство строгое, то х* является точкой строгого локального минимума.

Рисунок 9.4 –Экстремумы функции одной переменной на участке [a,b]

На рисунке 9.4: х₁, х₃, х₅, х₆, х₇, х₁₁ – точки локального максимума (х₁ – нестрогого); х₂, х₆, х₈, х₁₀ (х₆-нестрогого) – локального минимума; х₄ - глобального минимума; х₉ – глобального максимума.