Так для уравнения второго порядка метод Рунге-Кутты имеет следующий алгоритм.

Исходное уравнение задачи Коши

y´´= f (x, y, y´) (7.7)

с начальными условиями y₀ = у(х₀) и y´₀ = y´ (х₀) преобразуется к системе двух уравнений

y´= z = g (x, y, y´), при y´₀ = y´ (х₀) = z (х₀) = z₀

z´= f (x, y, y´) при y₀ = у(х₀). (7.8)

Далее

у_i+1 = у_i + К, (7.9)

где К = h (К₁ + 2К₂ +2К₃ + К₄)/6 ,

К₁ = g (x _i, y _i, z _i), К₂ = g (x _i + h/2, y_i + К₁h/2, z _i + L₁h/2),

К₃ = g (x _i + h/2, y_i + К₂h/2, z _i + L₂h/2), К₄ = g (x _i + h, y _i + К₃h, z _i + L₃h),

z _i+1 = z _i + L , (7/10)

где L = h (L ₁ + 2 L ₂ + 2L ₃ + L ₄)/6 ,

L ₁ = f (x _i, y _i, z _i), L ₂ = f (x _i + h/2, y_i + К₁h/2, z_i + L₁h/2),

L ₃ = f (x _i + h/2, y_i + К₂h/2, z_i + L₂h/2), L ₄ = f (x _i + h, y_i + К₃h, z _i + L₃h).

Метод Рунге-Кутты обладает достаточно высокой точностью, легко программируется. С помощью этого метода можно начинать решение – он самостартующий, так как нужно знать одно значение y_i. Величину шага можно изменять на любом этапе вычислений. К недостаткам метода можно отнести большие затраты времени, так как в каждой точке функция рассчитывается четыре раза, и сложность определения ошибки метода.

Погрешность метода Рунге-Кутты на одном шаге сетки равна Mh⁵, но поскольку на практике М оценить сложно, пользуются правилами Рунге удвоения шага. Выполняют расчет функции у_i+1⁽¹⁾ в точке х_i+1 методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности с шагом h, а затем рассчитывают этим же методом у_i+1⁽²⁾ в точке х_i+1 с шагом h/2. По полученным значениям функции определяют погрешность

δ=Σа_i(у_i+1⁽¹⁾- у_i+1⁽²⁾ )/15 (7.11)

Если δ > ε, где ε – заданная точность, то шаг уменьшают вдвое. Если

δ < ε – результаты счета с шагом h достаточно точные. Если δ < ε/50 – шаг удваивают.

Многошаговые методы решения задачи Коши

Можно построить более эффективный вычислительный процесс нахождения решения задачи Коши, если использовать информацию о предыдущих точках (х_i-2,у_i-2), (х_i-1,у_i-1). Методы, основанные на этой идее – многошаговые. С помощью этих методов нельзя начать решение – они не самостартующие, поэтому используются в сочетании с методами Рунге-Кутты. К многошаговым методам относятся методы прогноза и коррекции [], в которых по формуле прогноза и исходным значениям переменных определяют у_i+1^(j). Затем находят производную функции и по формулам коррекции уточняют прогнозируемое значение, рассчитывая у_i+1^(j+1). Среди многошаговых методов наиболее известны метод Хемминга и метод Адамса-Башфорта [].

Методы решения жестких ОДУ, которые не могут быть решены рассмотренными выше методами, приведены в литературе.

Компьютерная реализация методов в Excel описана в [23-24, 26].

Литература: [1-4],[6], [14-17], [23-24].

Лекция 8

Тема: Численные методы решения краевых задач

План: Численные методы решения краевых задач тепломассообмена и гидродинамики. Основные понятия метода конечных разностей.