Лекция 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Вопросы:

1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.

2. Правила дифференцирования.

3. Производные высших порядков. Дифференциал функции.

1. Понятие производной

Пусть М – некоторая точка кривой γ

Если и , то

секущая , если она

существует. Предельное положение

– касательная к γ в точке М.

Пусть определена в некоторой точке х и ее окрестности. Дадим аргументы х приращение , при этом . Тогда функция получит приращение .

Опр.: Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю, если это предел существует.

Обозначения

Итак, по определению

(*)

Процесс нахождения производной называется дифференцированием этой функции.

Функция называется дифференцируемой в некоторой точке х, если существует предел см. (*).

Непрерывность есть необходимое (но не достаточное) условие дифференцируемости функции.

Функция непрерывная в некоторой точке х может быть и не дифференцируемой в этой точке.

Пример: в точке х = 0 не дифференцируема.