Как движется брошенный мяч; баллистическое движение

Под действием лишь собственного веса тело просто падает. До сих пор мы изучали это явление только на примере мяча, который роняют вниз из состояния покоя. Но и подброшенный вверх мяч тоже падает; оторвавшись от вашей руки, он испытывает действие единственной силы — направленной вниз силы тяжести, в результате чего и летит вниз. Это может показаться странным, но даже если сначала мяч движется вверх, его ускорение направлено вниз и равно 9,8 м/с². В результате скорость подброшенного кверху мяча уменьшается, он прекращает подниматься, вектор скорости будет направлен уже вниз, и наконец мяч оказывается на земле.

Уравнение 1.2.2 описывает зависимость скорости мяча от времени падения, но теперь вектор начальной скорости отличен от нуля и направлен вверх. Подброшенный вверх мяч в момент отрыва от ладони имеет довольно большую, направ­ленную вверх скорость (рис. 1.2.3). Как только вы подкинете мяч, он начнет движение с ускорением, направленным вниз. При начальной скорости мяча 29,4 м/с через 1 секунду направленная вверх скорость будет 19,6 м/с. Еще через секунду модуль вектора скорости, направленного вверх, составит всего лишь 9,8 м/с. Спустя третью секунду мяч на мгновение остановится, и вектор скорости будет равен 0. Затем мяч начнет падать с максимальной высоты так, как если бы его уронили из состояния покоя.

Рис. 1.2.3. В момент броска мяча вверх он начинает движение с ускорением 9.8 м/с², направленным вниз. Мяч летит вверх, но его скорость равномерно уменьшается до тех пор, пока он на мгновение не остановится. Затем мяч начинает падать с равномерно нарастающей скоростью, направленной вниз. В нашем примере мяч поднимается в течение з секунд, затем останавливается. После этого он 3 секунды падает, пока снова не достиг­нет вашей ладони в своем весьма симметричном полете.

Движение мяча до и после достижения верхней точки симметрично. Пона­чалу он быстро летит вверх, поскольку ему сообщили большую, направленную вверх скорость. По мере уменьшения скорости мяч летит все медленнее и медленнее до полной остановки. Затем начинает снижаться — сначала медленно, потом все быстрее и быстрее, с постоянным, направленным вниз ускорением. Время, за которое мяч достигнет максимальной высоты после броска вверх, равно времени его падения с пика высоты до уровня вашей ладони. Уравнение 1.2.3 показывает зависимость радиус-вектора (координат) мяча от времени падения при условии, что в момент отрыва от ладони вектор начальной скорости мяча направлен вверх.

Чем больше начальная направленная вверх скорость, тем дольше и выше поднимется мяч, прежде чем его скорость уменьшится до нуля. Затем мяч падает, и на это уходит ровно столько же времени, как и на подъем. Чем выше подлетит мяч, прежде чем начать падение, тем больше времени ему потребуется на то, чтобы вернуться в начальную точку, и тем быстрее он будет двигаться перед падением. Вот почему можно получить сильный удар по ладони, если поймать мяч, падающий с большой высоты: к моменту соприкосновения с вашей рукой мяч летит очень, очень быстро, и чтобы резко остановить его, необходимо приложить значительную силу.

А что, если бросить мяч не строго вверх по вертикали, а под некоторым углом? Мяч и в этом случае достигнет определенной высоты и начнет падать; но пока он будет подниматься и опускаться, он еще и улетит от вас в сторону и коснется земли на некотором расстоянии от вас. В какой степени это перемещение в горизонтальном направлении осложняет общую картину полета мяча?

Ответ: не слишком осложняет. Одно из замечательных упрощений, принятых в физике, заключается в том, что, как правило, перемещение тела по вертикали и горизонтали можно рассматривать независимо одно от другого. При таком подходе векторные величины — ускорение, скорость и положение, описываемое радиусом-вектором, — раскладываются на составляющие, проекции вектора на каждую ось координат (рис. 1.2.4), Например, вертикальная составляющая поло­жения тела — это высота, на которой оно находится.

Рис. 1.2.4. Даже если вектор скорости мяча не направлен строго по вертикали или горизонтали, можно считать, что он имеет вертикальную и горизонтальную составляющие. Одна компонента суммарного вектора скорости отвечает за движение мяча вверх, а другая — за движение того же мяча в горизонтальном направлении.

Если известно лишь, на какой высоте находится мяч, то нельзя точно опреде­лить его положение — надо знать, находится он справа или слева от вас, впереди или сзади. Действительно, вы можете однозначно задать радиус-вектор (как и любую другую векторную величину) тремя составляющими по трем взаимно перпендикулярным (то есть расположенным под прямыми углами друг к другу) осям координат. Это означает, что радиус-вектор мяча можно задать, указав высоту, на которой находится мяч, расстояние по горизонтали влево или вправо от вас и расстояние по горизонтали перед вами или позади вас. Допустим, мяч находится на высоте 10 м, в 3 м слева от вас и в 2 м сзади от вас. Эти три расстояния точно указывают местоположение мяча.

Вплоть до нынешнего момента мы рассматривали только вертикальные составляющие радиус-вектора, скорости и ускорения мяча. А теперь мы хотим бросить мяч так, чтобы он летел и в горизонтальном направлении, поэтому нам придется учесть изменение горизонтальных составляющих каждого из этих векторов. Раз мы изучаем движение мяча, который бросили прямо перед собой и который летит только вперед, то его перемещениями вправо и влево можно пренебречь; таким образом, мяч будет перемещаться в вертикальной плоскости, которая простирается прямо перед нами. В этом случае координатами мяча можно считать высоту его положения и расстояние от нас по горизонтали.

Поскольку ускорение мяча постоянно и не зависит от того, где именно находится мяч (при условии, что он находится вблизи земной поверхности), его перемещение в горизонтальном направлении не зависит от перемещения по вертикали. Как мяч движется в вертикальном направлении, мы уже знаем, а что можно сказать о движении по горизонтали? Видимо, чтобы описать горизонтальную часть перемещения мяча, нам понадобятся какие-то новые уравнения, описывающие зависимость изменения координат, скорости и ускорения от времени. К счастью, мы и здесь можем воспользоваться уравнениями 1.2.2 и 1.2.3.

Уравнения 1.2.2 и 1.2.3 были выведены для описания вертикального перемещения мяча, однако они применимы и в общем случае. Они связывают три векто­ра — радиус-вектор, скорость и постоянное ускорение. Эти равенства описывают изменение радиус-вектора и скорости во времени при движении тела с постоянным ускорением независимо от направления последнего.

Эти уравнения применимы и к составляющим радиус-вектора, скорости и ускорения. Если в уравнениях 1.2.2 и 1.2.3 для каждого вектора дополнительно уточнить, что подразумевается его вертикальная составляющая, они будут адек­ватно описывать перемещение тела по вертикали. То же самое можно проделать и для движения тела по горизонтали. Ранее, при изучении движения по вертикали, мы подразумевали в этих уравнениях вертикальные составляющие. Теперь нам надо рассмотреть перемещение мяча в горизонтальном направлении — давайте будем иметь в виду горизонтальные составляющие.

Как только мяч оторвется от вашей руки, его движение можно разложить на две части: движение по вертикали и движение по горизонтали (рис. 1.2.4). Одна часть вектора начальной скорости направлена вверх, и этот вертикальный вектор скорости определяет подъем и спуск мяча. Вторая часть вектора начальной скорости направлена горизонтально, в сторону броска и характеризует перемещение мяча в сторону.

Поскольку к летящему мячу приложена только сила тяжести, а ее действие направлено строго вниз, то ускорение не имеет горизонтальной составляющей. Стало быть, горизонтальная составляющая вектора скорости постоянна, и в горизонтальном направлении мяч движется равномерно на протяжении всего полета (рис. 1.2.5). Итак, высота подъема мяча и время его пребывания в воздухе, пока он не стукнется о землю, определяются вертикальной составляющей начальной скорости, а от горизонтальной составляющей зависит то, как быстро в течение этого времени мяч летит в сторону (рис. 1.2.6).

Рис. 1.2.5. После броска мячик для гольфа равномерно перемещается вправо вдоль поверхности поля, потому что сила тяжести влияет только на вертикальную составляющую вектора скорости.

Рис. 1.2.6. Если бросить мяч вверх под углом, одно слагаемое вектора скорости будет направлено по вертикали, а дру­гое — по горизонтали. Перемещения в вертикальном и горизонтальном направлениях не зависят одно от другого. Мяч набирает высоту и опускается так же, как он делал это на рис. 1.2.2 и 1.2.3. Но вместе с тем мяч движется и вдоль поверхности поля. Поскольку ускорение не имеет горизонтальной составляющей (сила тяжести направлена строго вниз), горизонтальная составляющая скорости постоянна, что и показывает стрелка горизонтального вектора. В данном примере за каждую секунду мяч пролетает 10 м и в результате падает в 60 м от вас, продержавшись в воздухе 6 секунд.

Непосредственно перед ударом о землю мяч еще сохраняет горизонтальную составляющую скорости, но вертикальная теперь направлена вниз. Полная скорость мяча складывается из этих двух составляющих. Мяч начинает движение со скоростью, направленной вверх и вперед, а заканчивает со скоростью, направленной вниз и вперед.

Для того чтобы мяч или пуля упали на землю как можно дальше от вас, надо удержать их в воздухе как можно дольше и одновременно сообщить им скорость с достаточно большой горизонтальной составляющей; иначе говоря, надо достичь правильного баланса вертикальной и горизонтальной составляющей вектора скорости (рис. 1.2.7). Путь мяча в воздухе (его траектория) определяется обеими этими составляющими. Если бросить мяч вертикально вверх, он может провести в воздухе достаточно длительное время, но при этом вообще не сместится по горизонтали — так что не забудьте надеть каску. Если метнуть его строго по горизонтали, горизонтальная составляющая вектора скорости будет велика, но мяч упадет на землю почти сразу.

Рис. 1.2.7. Если вы хотите, чтобы мяч, благодаря большой начальной скорости, упал как можно дальше от места, где вы стоите, бросайте его под углом 45⁰. Бросок в таком направлении, среднем между горизонтальным и вертикальным, сообщает мячу начальную скорость, вертикальная и горизонтальная составляющие которой равны. При этом мяч останется в воздухе достаточно долго и за это время улетит далеко.

Если не учитывать сопротивление воздуха и высоту положения вашей руки относительно конечного уровня падения мяча, самое разумное — метнуть мяч под углом 45° к горизонтальной оси. При такой ориентации составляющая начальной скорости, направленная вверх, будет равна составляющей, направленной вдоль поля. Мяч будет лететь достаточно долго и использует это время оптимальным образом для своего перемещения по горизонтали. При других углах столь же эффективно использовать для броска начальную скорость не удается. Как разложить вектор скорости на горизонтальную и вертикальную составляющие, объясняется в Приложении А.

Точно так же можно рассмотреть движение двух бейсбольных мячей, один из которых просто падает с обрыва, а другой брошен в горизонтальном направлении с того же обрыва. Оторвавшись от ваших рук одновременно, мячи коснутся земли тоже одновременно. То, что начальная скорость мяча была направлена по горизонтали, не влияет на время его падения, потому что перемещения по вертикали и по горизонтали независимы. Само собой, брошенный вперед мяч упадет на землю на некотором отдалении от подножия горы, а тот, что вы просто уронили, приземлится точно под вашей рукой 4.

4. Лучники и стрелки обычно целятся чуть выше центра мишени, потому что как только стрела или пуля выпущена, она тут же начинает падать, одновременно летя к цели. Чем больше расстояние до цели и время полета пули или стрелы, тем более заметен этот эффект. В принципе можно считать, что стрела (или пуля), выпущенная горизонтально, приземлится одновременно со стрелой (или пулей), просто упавшей вниз из состояния покоя. Инерционное движение метательного снаряда в горизонтальном направлении не влияет на скорость его падения по вертикали.