Скорость падающего мяча. Радиус-вектор (координаты) падающего мяча

Теперь мы готовы к изучению движения падающего мяча вблизи поверхности Земли. На падающий мяч действует только сила земного притяжения, а она, как мы видели, заставляет любое тело падать с одинаковым, направленным вниз ускорением. Но обычно нас интересует не ускорение падающего тела, а его координаты и скорость.

Где окажется тело через з секунды и какова будет его скорость? Собираясь с духом перед прыжком в воду с вышки, вы наверняка хотите знать, долго ли вам лететь до воды и с какой скоростью вы войдете в нее.

Чтобы ответить на эти вопросы, сначала посмотрим, как связаны скорость мяча и время, в течение которого вы наблюдали за его падением. Для этого надо знать начальную скорость мяча, то есть ее величину и направление в тот момент, когда вы начали за ним наблюдать. Если вы уронили мяч, находившийся до этого в состоянии покоя, его начальная скорость была равна нулю.

Тогда скорость мяча в каждый данный момент можно определить, используя понятия начальной скорости, ускорения и времени, прошедшего с того момента, как вы начали за ним наблюдать. Поскольку при постоянном ускорении скорость мяча меняется одинаково за каждую секунду, его скорость в данный момент вре­мени отличается от начальной на произведение ускорения и времени наблюдения:

Начальная скорость мяча, который упал из состояния покоя, равна нулю, ускорение его направлено вниз и равно 9,8 м/с², а время наблюдения — это просто время, которое прошло с начала падения мяча (рис. 1.2.2). Спустя секунду мяч имеет скорость 9,8 м/с. Спустя 2 секунды эта скорость равна 19,8 м/с, спустя 3 секунды — 29,6 м/с и так далее. Так как мяч падает строго по вертикали, то перед значением ускорения мы ставим символ чтобы обозначить направление. Условимся, что знак минус подразумевает движение вниз.

Рис. 1.2.2. Мяч покоился у вас в руке и начал падать в тот момент, как вы его отпустили. Под действием собственного веса он движется с ускорением, направленным вниз. Через 1 секунду он пролетит 4,9 м, а его направленная вниз скорость будет равна 9,8 м/с. Через 2 секунды мяч пролетит 19,6 м и будет иметь направлен­ную вниз скорость 19,6 м/с и так далее.

По мере того как мяч падает с ускорением, направленным вниз, его скорость, также направленная вниз, постоянно увеличивается. Отрицательные значения радиус-вектора и скорости указывают на то, что мяч движется вниз вследствие отрицательного (направленного вниз) ускорения.

Радиус-вектор (координаты) падающего мяча. Скорость мяча по мере его падения возрастает, но как определить, где именно он находится в каждый момент времени? Чтобы ответить на этот вопрос, надо знать начальный радиус-вектор (начальные координаты) мяча, то есть где он был, когда вы начали наблюдать за его падением. Если вы уронили мяч, который был в состоянии покоя, его исходное положение — у вас на ладони, и эту точку можно считать началом отсчета (радиус-вектор равен 0).

Тогда радиус-вектор мяча можно выразить через его начальный радиус-вектор, начальную скорость, ускорение и время, прошедшее с момента начала на­блюдения. Но из-за того, что вектор скорости мяча меняется, нельзя просто умножить его на время падения и подсчитать, насколько радиус-вектор в данный момент времени отличается от исходного. Необходимо применить понятие средней скорости за тот промежуток времени, в течение которого вы наблюдаете за мячом. С начала падения до данного момента времени скорость мяча менялась от начального значения до текущего постоянно и равномерно, поэтому средняя скорость равна той, которой мяч достиг на полпути между начальной и конечной скоростями.

Радиус-вектор мяча в данный момент времени отличается от начального на произведение средней скорости и времени наблюдения:

Если мяч падает из состояния покоя, начальная скорость равна нулю, ускорение направлено вниз и равно 9,8 м/с², а время наблюдения — это время, прошедшее с момента начала падения мяча (рис. 1.2.2). За 1 секунду мяч пролетит 4,9 м. За 2 секунды мяч пролетит вниз 19,6 м. За з секунды — 44.1 м и так далее.

В уравнения 1.2.2 и 1.2.3 входят ускорение (как мера темпа изменения вектора скорости) и вектор скорости (как мера темпа изменения радиус-вектора). Ускорение падающего мяча постоянно, оба уравнения могут быть выведены с помощью элементарной алгебры. Но в более сложных случаях, когда ускорение меняется со временем, для определения координат и скорости требуется применить дифференциальное исчисление. Дифференциальное исчисление — это особый раздел математики, и придумал его Ньютон специально для решения задач такого рода.

До сих пор мы обсуждали падение мяча, но могли бы взять вместо него и другие предметы. Всем телам — тяжелым и легким, большим и маленьким — требуется одинаковое время на то, чтобы долететь до Земли с одной и той же высоты, при условии, что они достаточно твердые и могут преодолеть сопротивление воздуха. В безвоздушном пространстве это утверждение истинно для любых тел; перо и свинцовый брусок, сброшенные одновременно, упадут одновременно.

Теперь, зная, что такое ускорение свободного падения, мы можем понять, по­чему мяч, слетевший с высокой лестницы, опаснее мяча, упавшего с низкой табуретки. Чем более длинный путь проделывает мяч, тем дольше он будет лететь до земли и тем больше времени будет иметь на движение с ускорением. За время долгого падения с лестницы мяч разовьет большую скорость, направленную вниз, и его нелегко будет остановить. Если вы попытаетесь поймать его, вам придется приложить большую, направленную вверх силу, чтобы придать мячу направленное вверх ускорение и заставить его резко остановиться. Приложение такой большой силы к мячу может причинить вам боль. Влияние сопротивления воздуха на процесс падения описано в примечании 2.

2. Когда тело падает вниз, то направлен­ная вверх сила сопротивления воздуха противодействует направленному вниз весу тела и уменьшает его ускорение, также направленное вниз. Поскольку с увеличением скорости возрастает и сопротивление воздуха, тело рано или поздно прекратит ускоряться и будет падать равномерно с конечной скоростью. Если уронить с небоскреба монетку в один пенс, то в отсутствие сопротивления воздуха ее скорость достигла бы 340 км/ч, однако на самом деле монетка полетит вниз с конечной скоростью меньше 80 км/ч, и вы вполне сможете ее поймать. Однако берегитесь, если падает шариковая ручка.

Все вышеописанное касается и вас, если падающий объект — ваше собствен­ное тело. Спрыгнув с высокой лестницы, вы спустя какое-то время достигнете пола. К моменту приземления вы успеете развить значительную скорость, направленную вниз. Пол сообщит вам ускорение, направленное вверх, произведет на вас с большой силой довольно неприятное воздействие, и вы остановитесь. Можно вспомнить и более интересные (и вместе с тем менее травмоопасные) случаи продолжительного падения 3.

3. В 1782 году бристольский слесарь Уильям Уоттс запатентовал способ литья идеально круглых и бесшовных шариков охотничьей дроби. Он предложил проливать расплавленный свинец через решето, подвешенное на большой высоте над емкостью с водой. Падая, капли свинца остывали в воздухе и, прежде чем коснуться поверхности воды, превращались в безупречно ровные шарики. Дроболитейные башни скоро появились по всей Европе, а потом и в Америке. В наши дни вредную для окружающей среды свинцовую дробь практически полностью вытеснила стальная, которую изготавливают методом литья в форме: расплавленному железу нужно больше времени, чтобы остыть и затвердеть, а значит, дроболитейные башни пришлось бы строить абсурдно высокими.