Приложение. Распределения c2 и Стьюдента

(по курсу лекций А.В.Степанова, МГИМО)

Распределение c2.

Пусть имеется n независимых случайных величин x₁, x₂, ..., x_n, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная величина распределена по закону, который называется “распределение c²” или “распределение Пирсона”. Очевидно, что она может принимать лишь неотрицательные значения. Число n называется числом степеней свободы.

При n > 1 график плотности распределения случайной величины c² представляет собой кривую, изображенную на рисунке 1.

Для того, чтобы определить вероятность попадания случайной величины c² в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются таблицей распределения c². Обычно такая таблица позволяет

Таблица 1.

по вероятности q и по числу степеней свободы n определить так называемый квантильc_q², если q и c_q² связаны соотношением

P(c² > c_q²) = q.

Эта формула означает: вероятность того, что случайная величина c² примет значение, большее чем определенное значение c_q², равна q.

Таблица 1 представляет собой фрагмент таблицы распределения c². Из него видно, что случайная величина c² с 10-ю степенями свободы с вероятностью q = 0,95 принимает значение, большее 3,94, а та же величина с одной степенью свободы с вероятностью q = 0,975 превышает 0,00098.

Задача. Найти интервал (c₁²,c₂²), в который случайная величина c² с 10-ю степенями свободы попадает с вероятностью, равной 0,9.

Решение. График плотности распределения c² с 10-ю степенями свободы схематично изображен на рисунке 2. Будем считать, что площади заштрихованных областей (правая область не ограничена справа) равны между собой. Примем условия:

P(c² < c₁²) = P(c² >c₂²) = (1 - 0,9)/2 = 0,05, (1)

тогда P(c₁² < c² < c₂²) = 0,9.

Равенства (1) сразу позволяют по таблице определить: c₂² = 18,3. Для определения левой границы интересующего нас интервала придется воспользоваться очевидным равенством P(c² > c₁²) = 0,95. Из таблицы 1. определяем: c₁² = 3,94 , и теперь можно сформулировать ответ задачи: значение случайной величины c² с вероятностью 0,9 принадлежит интервалу (3,94; 18,3).