Распределение Стьюдента.

Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида

,

где x и h – независимые случайные величины, причем x – нормально распределенная случайная величина с параметрами Mx = 0 и Dx = 1, а h распределена по закону c² c k степенями свободы.

Закон распределения случайной величины t называется законом распределения Стьюдента с k степенями свободы.

График плотности распределения для закона Стьюдента схематически изображен на рисунке 3. Кривая плотности распре­деления схожа с аналогичной кривой для нормального распределения.

Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней свободы k по вероятности q определить значение t_q, для которого выполняется соотношение P(|t| > t_q) = q. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 2.

Задача. Найти симметричный интервал, в который случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает вероятностью 0,9.

Решение. Очевидны соотношения:

P(–x < t < x) = P(|t| < x) = 1 – P(|t| ³ x) = 0,9.

Из последнего равенства следует:

P(|t| ³ x) = 0,1 , (n = 12).

Определяем из таблицы: x = 1,782. Нестрогое неравенство в скобках в левой части последней формулы нас не должно смущать, так как мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, и вероятность того, что она примет конкретное значение, равна нулю.

Задача. Найти значение x из условия P(t > x) = 0,995 , где t – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы.

Решение. На рисунке 4 изображен график плотности распределения Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Вероятность того, что случайная величина примет значение из области справа от точки x₁ равна 0,995 , следовательно в область левее этой точки случайная величина попадает с вероятностью 0,005. Чтобы найти x₁, рассмотрим две симметричные области, изображенные на рисунке 5. Допустим, что в каждой из этих областей значение случайной величины оказывается с вероятностью 0,005. Тогда получаем: x₁= – x,
x₂ = x, причем x определяется из условия
P(|t| > x) = 0,01. Из таблицы 2 находим: x = 3,055. Теперь можно выписать ответ задачи:

P(t > –3,055) = 0,995.