Эконометрический анализ взаимосвязанных временных рядов

Коинтеграция и мнимая регрессия.

Рассмотрим два временных ряда yt и xt. Предположим, что оба ряда имеют единичные корни, то есть являются нестационарными. Предположим далее, что исследователь не знает механизмов, порождающих yt и xt, и оценивает регрессию:

yt =bxt + et, t=1,…,n. (5.12)

Если et = ytbxt, t=1,…,n является стационарным временным рядом, то временные ряды yt и xt называются коинтегрированными, а вектор (1 –b) называется коинтегрирующим вектором.

Примеры.

1. Длинная ставка процента R, короткая ставка процента r: et=Rtrt, вектор коинтеграции (1 –1).

2. Логарифм потребления Ct, логарифм дохода yt: et=Сtyt, вектор коинтеграции (1 –1).

3. Логарифм обменного курса Dt, логарифм внутренней цены Pt, логарифм цен мирового рынка Pt*: et=DtPt+Pt*, вектор коинтеграции (1 –1 1). Ñ

В случае коинтегрируемости временных рядов говорят о долгосрочном динамическом равновесии. Если yt и xt коинтегрированы, то yt и bxt содержат общую нестационарную компоненту – долговременную тенденцию, а разность ytbxt стационарна и совершает флуктуации около нуля.

Таким образом, коинтеграция временных рядов – причинно-следственная зависимость в уровнях временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости.

Возможен случай, когда ошибка et = ytbxt, t=1,…,n в регрессии (5.12) является нестационарным временным рядом. Тогда условия классической регрессионной модели (п. 3) не выполняются, в частности дисперсия et не является постоянной. Кроме того, МНК оценка параметра b не состоятельна, поэтому с ростом объема выборки увеличиваются шансы получения ложных выводов о взаимосвязи yt и xt. Такая ситуация называется ложной (мнимой) регрессией. На практике признаками мнимой регрессии являются высокое значение R2 и малое значение статистики Дарбина-Уотсона.

Для проверки рядов на коинтеграцию используются тесты Энгеля-Гранжера или Йохансена.

Пример. Рассмотрим временные ряды логарифмов доходов и расходов на потребление с августа 1990 г. по январь 1992 г. в России. Графический анализ – рис. 5.1 показывает, что тенденции этих рядов совпадают.

Расчет параметров уравнения регрессии логарифма расходов yt на логарифм доходов xt обычным МНК дает следующие результаты:

=0,9xt + et,

n=25, R2=0,80, критерий Дарбина-Уотсона 1,85, стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,009.

Для тестирования рядов на коинтеграцию определим оценки остатков = - 0,9xt и построим регрессию первых разностей D на :

D = - 0,95 .

Фактическое значение t-критерия для коэффициента последней регрессии равно –4,46, что превышает по абсолютной величине критическое значение 1,94, рассчитанное Энгелем и Гранжером, при уровне значимости 5%, т.е. с вероятностью 0,95 можно утверждать, что временные ряды логарифмов доходов и расходов на потребление коинтегрированы. Ñ

При изучении двух взаимосвязанных временных рядов на предварительной стадии регрессионного анализа рекомендуется устранить сезонные или циклические колебания, если они имеются в исследуемых временных рядах, в соответствии с принятой аддитивной или мультипликативной моделями рядов.

Если рассматриваемые временные ряды yt и xt содержат тенденцию, то коэффициент корреляции, характеризующий степень зависимости между yt и xt будет иметь высокое значение. Такая же ситуация будет иметь место тогда, когда yt и xt зависят от переменной времени t. Как в первом, так и во втором случае имеет место ложная корреляция, которая приводит при построении регрессии yt на xt вида (5.12) к автокорреляции в остатках и нестационарности ряда остатков регрессии (ложная регрессия), то есть к нарушению предпосылок МНК.



Рис. 5.13.

 

Для получения регрессии со стационарным временным рядом остатков et, как уже указывалось ранее, может быть использован метод последовательных разностей, когда переход к некоторым k-м разностям уровней ряда позволяет получить стационарный ряд остатков.

Другими методами исключения тренда из анализируемой модели (5.12) являются методы включения фактора времени и отклонений от тренда.

Метод включения фактора времени.

Для устранения влияния времени на результат и факторы при изучении взаимосвязанных рядов динамики используется прием включения времени t в качестве независимой переменной в модель регрессии, что позволяет зафиксировать воздействие фактора t. Достоинством такого подхода является использование всей имеющейся выборки в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере некоторого числа наблюдений.

Рассмотрим, например, модель вида:

yt = a + b1xt + b2t + et,

которая относится к моделям c включенным фактором времени. Параметры модели определяются обычным МНК.

Пример. Потребительские расходы и доходы населения (тыс. у. е.) за ряд лет характеризуются следующими данными (табл. 5.13).

Таблица 5.13

Показатель Год
Потребительские расходы
Доходы

 

Оценим уравнение регрессии потребительских расходов yt на доходы xt вида:

yt = a + bxt + et.

Получим, применяя МНК:

yt = -5,38 + 0,92xt + et,

причем R2=0,98, стандартная ошибка коэффициента b1 при xt 0,04, статистика Дарбина-Уотсона 0,86. Т.е. имеем случай мнимой регрессии, когда статистика Дарбина-Уотсона показывает наличие положительной автокорреляции остатков et, а коэффициент детерминации близок к единице.

Применяя метод включения фактора времени, оценим регрессию вида:

yt = a + b1xt + b2t + et.

Получим, применяя МНК:

yt = 3,88 + 0,69xt + 1,65t + et,

причем R2=0,99, стандартная ошибка коэффициента b1 при xt 0,11, статистика Дарбина-Уотсона 1,3.

Полученное уравнение имеет следующую интерпретацию. Значение параметра b1=0,69, говорит о том, что при увеличении дохода на 1 тыс. у.е., потребительские расходы возрастут в среднем на 0,69 тыс. у.е., если существующая тенденция будет неизменна. Значение b2=1,65 свидетельствует о том, что без учета роста доходов населения ежегодный средний абсолютный прирост потребительских расходов составит 1,65 тыс. у.е. Ñ

Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции.

Если каждый из рядов yt и xt содержит тренд, то аналитическим выравниванием по каждому из рядов можно найти параметры тренда и определить расчетные по тренду уровни рядов и . Влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений тренда из фактических. Дальнейший регрессионный анализ проводят с отклонениями от тренда и .



Пример. Потребительские расходы и доходы населения (тыс. у.е.) за ряд лет характеризуются данными табл. 5.13.

Рассчитаем линейные тренды по каждому из временных рядов методом МНК:

=35,39+6,23t , R2=0,93 стандартная ошибка коэффициента при t 0,63,

=45,33+6,60t , R2=0,89 стандартная ошибка коэффициента при t 0,85.

По трендам определим расчетные значения и и отклонения от трендов и .

Таблица 5.14

Тренды и отклонения от трендов для временных рядов доходов и потребительских расходов

Время, t yt xt
41,62 51,93 4,38 7,07
47,86 58,53 2,14 4,47
54,09 65,13 -0,09 -1,13
60,32 71,73 -1,32 -5,73
66,56 78,33 -4,56 -7,33
72,79 84,93 -5,79 -6,93
79,02 91,53 -4,02 -2,53
85,26 98,13 0,74 2,87
91,49 104,73 8,51 9,27

 

Проверим полученные отклонения от трендов на автокорреляцию. Коэффициенты автокорреляции первого порядка составляют:

=0,56, =0,67,

в то время как для исходных рядов =0,99, =0,99.

Таким образом, полученные ряды отклонений от трендов можно использовать для получения количественной характеристики связи исходных временных рядов потребительских расходов и доходов населения. Коэффициент корреляции по отклонениям от трендов равен 0,93, тогда как этот же показатель по начальным уровням ряда был равен 0,99. Связь между потребительскими расходами и доходами населения прямая и сильная.

Результаты построения модели регрессии по отклонениям от трендов следующие:

Константа 0,00
Коэффициент регрессии 0,69
Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,09
R2 0,88
Статистика Дарбина-Уотсона 1,30

Содержательная интерпретация модели в отклонениях от трендов затруднительна, но она может быть использована для прогнозирования. Ñ

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Тестирование стационарности временного ряда | КЛАССИФИКАЦИЯ ПИЩЕВЫХ ДОБАВОК


Дата добавления: 2017-04-20; просмотров: 26; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2017 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.092 сек.