Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда

Простейшим подходом к моделированию временных рядов, содержащих сезонные колебания, является построение аддитивной или мультипликативной моделей временного ряда.

Выбор одной из этих моделей основывается на анализе структуры временного ряда.

Если амплитуда сезонных колебаний примерно постоянна, то строят аддитивную модель. Если же амплитуда колебаний непостоянна, то есть возрастает или уменьшается, то строят мультипликативную модель.

Процесс построения модели ряда в этом случае включает следующие этапы:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. Расчет значений сезонной компоненты S.

2. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+U) в аддитивной или (Т×U) в мультипликативной модели.

3. Аналитическое выравнивание уровней (Т+U) или (Т×U) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

4. Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т×S)

5. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Рассмотрим процесс построения аддитивной модели на примере.

Пример. Имеются данные о количестве продукции (тыс.шт.), проданной фирмой «Вега» в течение последних 20 кварталов.

 

Квартал Объем продаж Квартал Объем продаж Квартал Объем продаж Квартал Объем продаж
8,4 9,1 10,1 12,2
8,6 9,2 10,8 11,9
8,8 9,9 10,5 12,3
9,5 9,7 10,7 12,5
8,5 9,9 13,2

Этап 1. Проведем выравнивание ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда по 4 кварталам последовательно. Далее разделим полученные суммы на 4 и найдем скользящие средние, уже не содержащие сезонной компоненты. Найдем центрированные скользящие средние, для чего вычислим средние значения из двух последовательных скользящих средних. Вычислим оценки сезонной компоненты как разность между фактическим уровнем продаж и центрированными скользящими средними.

 

Таблица 5.6

Расчет оценок сезонной компоненты

Квартал Объем продаж, тыс.шт. Итого за 4 квартала Скользящая средняя за 4 квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
8,4        
           
8,6        
    35,3 8,825    
8,8     8,8375 -0,0375
    35,4 8,85    
9,5     8,9125 0,5875
    35,9 8,975    
8,5     9,025 -0,525
    36,3 9,075    
9,1     9,125 -0,025
    36,7 9,175    
9,2     9,325 -0,125
    37,9 9,475    
9,9     9,575 0,325
    38,7 9,675    
9,7     9,7875 -0,0875
    39,6 9,9    
9,9     10,0125 -0,1125
    40,5 10,125    
10,1     10,225 -0,125
    41,3 10,325    
10,8     10,425 0,375
    42,1 10,525    
10,5     10,6375 -0,1375
    10,75    
10,7     10,925 -0,225
    44,4 11,1    
    11,275 -0,275
    45,8 11,45    
12,2     11,65 0,55
    47,4 11,85    
11,9     12,0375 -0,1375
    48,9 12,225    
12,3     12,35 -0,05
    49,9 12,475    
12,5        
           
13,2        

 



Используем полученные оценки сезонной компоненты для расчета сезонности S. Для этого найдем средние квартальные оценки сезонной компоненты, использовав данные всех кварталов. Заметим, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, поэтому значения сезонной компоненты корректируются на величину, полученную как частное от деления суммы оценок сезонных компонент на число сезонов.

Таблица 5.7

Корректировка значений сезонной компоненты

Показатели Год Квартал
- - -0,0375 0,5875
-0,525 -0,025 -0,125 0,325
-0,0875 -0,1125 -0,125 0,375
-0,1375 -0,225 -0,275 0,55
-0,1375 -0,05 - -
Итого за квартал -0,8875 -0,4125 -0,5625 1,8375
Средняя оценка сезонной компоненты для квартала -0,2218 -0,1031 -0,1406 0,4593
Скорректированная оценка сезонной компоненты -0,2203 -0,1015 -0,1390 0,4609

 

Рассчитаем корректирующий коэффициент:

k=[(-0,22188)+(-0,10313)+( -0,14063)+ 0,459375]/4=-0,00625/4= -0,00156.

Cкорректированные оценки сезонной компоненты определяются путем вычитания из средней оценки сезонной компоненты для квартала корректирующего коэффициента. Полученные таким образом значения занесены в таблицу 5.7.

Этап 2. Устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда и получим выравненные данные Т+U=yi-S (столбец 4).

Таблица 5.8

Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели



t yi Si Т+U=yi-S T T+S U=yi-(T+S) U2
8,4 -0,2203 8,6203 8,1545 7,9341 0,6861 0,4707
8,6 -0,1015 8,7015 8,3845 8,2829 0,4185 0,1751
8,8 -0,1390 8,9390 8,6146 8,4755 0,4635 0,2148
9,5 0,46093 9,0390 8,8446 9,3056 -0,2666 0,0710
8,5 -0,2203 8,7203 9,0747 8,8544 -0,1344 0,0179
9,1 -0,1015 9,2015 9,3047 9,2032 -0,0016 0,0000
9,2 -0,1390 9,3390 9,5348 9,3957 -0,0566 0,0032
9,9 0,46093 9,4390 9,7648 10,2258 -0,7867 0,6189
9,7 -0,2203 9,9203 9,9949 9,7746 0,1457 0,0212
9,9 -0,1015 10,0010 10,2249 10,1234 -0,1218 0,0148
10,1 -0,1390 10,2390 10,4550 10,3159 -0,0769 0,0059
10,8 0,46093 10,3390 10,6850 11,1460 -0,8069 0,6511
10,5 -0,2203 10,7203 10,9151 10,6948 0,0254 0,0006
10,7 -0,1015 10,8015 11,1451 11,0436 -0,2420 0,0585
-0,1390 11,1390 11,3752 11,2361 -0,0971 0,0094
12,2 0,46093 11,7390 11,6052 12,06622 -0,3271 0,1070
11,9 -0,2203 12,1203 11,8353 11,6150 0,5052 0,2553
12,3 -0,1015 12,4015 12,0653 11,9638 0,4377 0,1916
12,5 -0,1390 12,6390 12,2954 12,1563 0,4826 0,2329
13,2 0,46093 12,7390 12,5254 12,9864 -0,2473 0,0611

Этап 3.Определим компоненту Т. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+U) с помощью линейного тренда. Имеем линейный тренд вида:

T = 7,9244+0,2301t.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,293. R2=0,95.

Подставляя в уравнение тренда последовательно t= 1,…,20, получим значения тренда для каждого уровня временного ряда (столбец 5, табл. 5.8).

Этап 4. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели как (T+S) (столбец 6, табл. 5.8).

Этап 5. Рассчитаем абсолютную ошибку как U=yi-(T+S), (столбец 7, табл. 5.8). Качество полученной модели можно проверить, используя сумму квадратов абсолютных ошибок (столбец 8). Сумма квадратов абсолютных ошибок равна 3,18. По отношению к сумме квадратов отклонений исходных уровней ряда от его среднего уровня, равной 40,32, эта величина составит 7,89%.

Следовательно, аддитивная модель объясняет 92,11% общей вариации объема продаж за 20 кварталов. Ñ

Рассмотрим построение мультипликативной модели на примере.

Пример. Имеются поквартальные данные об объеме экспорта одной из областей РФ за 5 лет (млн. долл.).

Таблица 5.9

Квартал Объем экспорта, млн.долл. Квартал Объемэкспорта, млн.долл. Квартал Объем экспорта, млн.долл. Квартал Объем экспорта, млн.долл.
19,3 15,8 20,3 25,4
12,3 17,2 22,3 31,8
13,2 19,9 29,7 23,9
15,6 26,3 21,1 25,8
21,5 19,1 23,7 27,4

Этап 1. Проведем выравнивание ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда по 4 кварталам последовательно. Далее разделим полученные суммы на 4 и найдем скользящие средние, уже не содержащие сезонной компоненты. Найдем центрированные скользящие средние, для чего вычислим средние значения из двух последовательных скользящих средних. Вычислим оценки сезонной компоненты как частное от деления фактического уровня экспорта на центрированные скользящие средние.

 

Таблица 5.10

Расчет оценок сезонной компоненты

Квартал Объем продаж, тыс.шт. Итого за 4 квартала Скользящая средняя за 4 квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
19,3        
           
12,3        
    60,4 15,1    
13,2     15,375 0,858537
    62,6 15,65    
15,6     16,0875 0,969697
    66,1 16,525    
21,5     17,025 1,262849
    70,1 17,525    
15,8     18,0625 0,87474
    74,4 18,6    
17,2     19,2 0,895833
    79,2 19,8    
19,9     20,2125 0,984539
    82,5 20,625    
26,3     21,0125 1,251636
    85,6 21,4    
19,1     21,7 0,880184
       
20,3     22,425 0,90524
    91,4 22,85    
22,3     23,1 0,965368
    93,4 23,35    
29,7     23,775 1,249211
    96,8 24,2    
21,1     24,5875 0,85816
    99,9 24,975    
23,7     25,2375 0,939079
    25,5    
25,4     25,85 0,982592
    104,8 26,2    
31,8     26,4625 1,201701
    106,9 26,725    
23,9     26,975 0,886006
    108,9 27,225    
25,8        
           
27,4        

 

Используем полученные оценки сезонности для расчета сезонной компоненты S. Для этого найдем средние квартальные оценки сезонной компоненты, используя данные всех кварталов.

Таблица 5.11

Расчет значений сезонной компоненты

Показатели Год Квартал
- - 0,8585 0,9696
1,2628 0,8747 0,8958 0,9845
1,2516 0,8801 0,9052 0,9653
1,2492 0,8581 0,9390 0,9825
1,2017 0,8860 - -
Итого за квартал 4,9653 3,4990 3,5986 3,9021
Средняя оценка сезонной компоненты для квартала 1,2413 0,8747 0,8996 0,9755
Скорректированная оценка сезонной компоненты 1,2440 0,876 0,9016 0,9776

 

Заметим, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем примере, цикл – год, в котором соответственно 4 квартала. Поэтому окончательный вариант сезонной компоненты будет получен корректировкой, заключающейся в умножении средней оценки сезонной компоненты для квартала на коэффициент k:

k=4/(1,2413+0,8747+0,8996+0,9755)=4/3,9913=1,0021.

Полученные таким образом значения были занесены в табл. 5.11 (строка 3).

Этап 2. Устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда и получим выравненные данные T×U=yi/S (столбец 4, табл. 5.12).

Таблица 5.12

Расчет выравненных значений Т и ошибок U в мультипликативной модели

t yi S T×U=yi/S T Т×U U=yi-(T×S) U2
19,3 1,2440 15,5139 14,2959 17,7847 0,8723 0,7609
12,3 0,8766 14,0303 15,0690 13,2105 1,0620 1,1279
13,2 0,9016 14,6402 15,8421 14,2836 1,0249 1,0505
15,6 0,9776 15,9563 16,6151 16,2440 0,9822 0,9648
21,5 1,2440 17,2823 17,3882 21,6317 0,7989 0,6383
15,8 0,8766 18,0227 18,1613 15,9214 1,1319 1,2813
17,2 0,9016 19,0767 18,9344 17,0717 1,1174 1,2486
19,9 0,9776 20,3546 19,7074 19,2673 1,0564 1,1160
26,3 1,2440 21,1407 20,4805 25,4786 0,8297 0,6884
19,1 0,8766 21,7869 21,2536 18,6324 1,1693 1,3672
20,3 0,9016 22,5149 22,0266 19,8597 1,1336 1,2852
22,3 0,9776 22,8094 22,7997 22,2905 1,0232 1,0471
29,7 1,2440 23,8738 23,5728 29,3255 0,8140 0,6627
21,1 0,8766 24,0683 24,3459 21,3433 1,1276 1,2716
23,7 0,9016 26,2859 25,1189 22,6478 1,1606 1,3470
25,4 0,9776 25,9802 25,8920 25,3137 1,0263 1,0533
31,8 1,2440 25,5618 26,6651 33,1725 0,7705 0,5937
23,9 0,8766 27,2622 27,4381 24,0542 1,1333 1,2845
25,8 0,9016 28,6150 28,2112 25,4359 1,1249 1,2655
27,4 0,9776 28,0259 28,9843 28,3369 0,9890 0,9781

Этап 3.Определим компоненту Т. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т×Е) с помощью линейного тренда. Имеем линейный тренд вида:

T = 13,5229+0,7730t.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,735. R2=0,97.

Подставляя в уравнение тренда последовательно t= 1,…,20, получим значения тренда для каждого уровня временного ряда (столбец 5, табл. 5.12).

Этап 4. Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели как (T×S) (столбец 6, табл. 5.12).

Этап 5. Рассчитаем абсолютную ошибку как U=yi-(T×S), (столбец 7, табл. 5.12). Качество полученной модели можно проверить, используя сумму квадратов абсолютных ошибок (столбец 8). Общая сумма квадратов абсолютных ошибок равна 21,033. По отношению к сумме квадратов отклонений исходных уровней ряда от его среднего уровня, равной 530,072, эта величина составит 3,9681%:

(21,03378/530,072)×100=3,97 %.

Следовательно, мультипликативная модель объясняет 96,03% общей вариации экспорта. Ñ

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Аналитическое выравнивание временных рядов, оценка параметров уравнения тренда | Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация


Дата добавления: 2017-04-20; просмотров: 51; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2017 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.097 сек.