Методика изучения арифметических действий в начальной школе

1. Овладение счетом требует умения прибавлять 1 к любому числу, к полученному результату снова прибавить 1. Таким образом, сложение числа с единицей возникло с появлением счета. В дальнейшем сложение двух чисел выразилось в присчитывании к данному числу по одному всех единиц 2-го слагаемого. Таким же образом считают и дети.

Например, к 3 прибавить 2: на одной руке ребенок показывает 3 пальца, а на другой – 2. На следующем этапе обучения ребенок уже не пересчитывает единицы 1-го слагаемого, а сразу называет его и присчитывает к нему все единицы 2-го слагаемого.

Сотни лет люди древнего мира выполняли сложение подобным же образом: устно с помощью конкретных предметов, а позже с помощью специальных приборов. После изобретения позиционной системы счисления индийские математики нашли способ выполнения сложения и в письменном виде. При вычислениях они записывали числа палочкой на доске в столбик одно под другим. Сумму записывали над слагаемыми. Складывать начинали со старшего разряда. Индийский прием сложения позаимствовали математики Востока, а позднее и Европы. В конце XV века француз Н.Шюке и итальянец Л. Пачоли впервые ввели знаки сложения и вычитания: p, m (от латинского plus и minus). А немецкие математики ввели современные обозначения «+» и « – ».

В Древнем Египте действие «сложение» обозначали специальным знаком ^ - рисунком шагающих ног.

Название «слагаемое» впервые встречается в работах математиков XIII века.

Термин «сумма» стал использоваться в современном значении только в XV веке. До этого он имел более широкий смысл. Суммой называли любое из четырех арифметических действий.

В Древней Индии вычитание чисел выполняли способом отсчитывания от уменьшаемого по одному, пока не получится вычитаемое: 9 - 5: 9 без 1 – 8; 9 без 2 -7; 9 без 3 – 6; 9 без 4 – 5.

Другой способ вычитания – австрийский, состоял в прибавлении к вычитаемому такого числа, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое:

9 – 5: 5 + 1= 6; 5 + 2 = 7; 5 + 3= 8; 5 + 4 = 9, значит, 9 – 5 = 4.

Понятие «разность» было введено в XV веке, а понятия «уменьшаемое», «вычитаемое» появились в Европе только в XVIII веке.

Знак деления в России в XVIII веке впервые стал использовать Магницкий.

В 1556 году английский математик Рекорд ввел знак равенства «=», которым пользуются и в настоящее время.

2. В курсе математики начальной школы находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел, в соответствии с которым сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения попарно непересекающихся множеств, вычитание – с операцией дополнения выделенного подмножества. Этот подход легко интерпретируется на уровне предметных действий, позволяя тем самым учитывать психологические особенности младших школьников.

По традиционной программе изучение сложения и вычитания в пределах 10 проводится в следующей последовательности:

1. Подготовительный этап: раскрытие смысла действий сложения и вычитания, знакомство с компонентами сложения, случаи прибавления и вычитания 1, где результаты находятся с опорой на знания образования натуральной последовательности чисел.

2. Изучение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и группами для случаев +- 2, 3, 4.

3. Изучение переместительного закона сложения для случаев «+ »5, 6, 7, 8, 9

4. Изучение взаимосвязи между компонентами для случаев « – » 5,6, 7, 8, 9.

Подготовительная работа к изучению сложения и вычитания начинается с первых уроков рассмотрения нумерации. Учащиеся должны прочно усвоить способы образования любого числа первого десятка присчитыванием и отсчитыванием единицы и, используя этот прием, свободно выполнять сложение и вычитание с единицей.

В качестве основного средства формирования представлений о смысле действий сложения и вычитания выступают простые текстовые задачи. Выполняя многократно операции над множествами, учащиеся уясняют, что операции объединения соответствует действие сложения, а операции удаления части множества – действие вычитание.

На втором этапе рассматривают случаи сложения и вычитания вида + - 2, 3, 4, результаты которых находятся присчитыванием или отсчитыванием.

Рекомендуется научить учеников находить значение выражений вида: 6 + 1 + 1; 9 – 1 – 1, иллюстрируя действия с предметами, например: «Положите 4 красных яблока, придвинь 1 желтое яблоко. Сколько яблок стало? Придвиньте еще 1 желтое. Как можно записать решение? Сколько всего яблок мы прибавили?»

Затем приступают к рассмотрению приема прибавления и вычитания числа 2. Например: «Посмотрите, сколько букетов стоит на окне? (4) Надо поставить на окно еще 2 букета (стоят в другом месте). Как узнать, сколько букетов будет на окне? Как же можно к 4 прибавить 2? (ученик по одному переносит букеты на окно). Запишем решение».

С помощью аналогичных упражнений раскрываются приемы вычислений для случаев +-3, +-4, представляя число 3 как сумму чисел 2 и 1, а число 4, как сумму чисел 2 и 2.

Завершающим моментом в работе над каждым из приемов является составление и заучивание таблиц.

На этом же этапе изучения сложения и вычитания учащиеся знакомятся с терминами: «сложение», «вычитание», «слагаемое», «сумма», а позднее – «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность».

На третьем этапе изучают прием сложения для случаев«+ »5, 6, 7, 8, 9. При сложении в пределах 10 второе слагаемое больше первого. Если при вычислениях применить перестановку слагаемых, то эти случаи сведутся к раннее изученным. Поэтому именно на этом этапе целесообразно раскрыть ученикам суть переместительного закона. Для его разъяснения могут быть использованы действия с предметными множествами, сравнение числовых равенств, в которых переставлены слагаемые, сравнение суммы длин одинаковых отрезков.

При формировании у детей представлений о смысле сложения полезно предлагать им такие ситуации для предметных действий, при выполнении которых они сами подмечают закономерности, связанные с переместительным свойством сложения. Например: «На одной тарелке 4 апельсина, на другой – 3; сколько апельсинов на обеих тарелках? Запишите решение: 4 + 3 = 7; на одной тарелке 3 апельсина, на другой – 4; сколько апельсинов на обеих тарелках?. Запишите решение: 3 + 4 = 7; Сравните эти записи: чем они похожи (оба примера на сложение, складываем одни и те же числа, получаем один и тот же результат) и чем отличаются (слагаемые поменяли местами)?

Возможен и другой вариант моделирования переместительного свойства сложения: Т = ▲▲▲ Т + К = ▲▲▲■■

К = ■■ К + Т = ■■▲▲▲

Таким образом, на основе переместительного закона сложения оказывается рассмотренной вся таблица сложения в пределах 10, которая должна быть усвоена на память.

Следует обратить внимание учащихся на наличие в этой таблице определенных закономерностей. Например, в каждой строке оказывается отрезок натурального ряда чисел до 10. По диагоналям получаем четные числа от 2 до 10. По главной диагонали так же можно указать ряд четных и нечетных чисел. Особое внимание обращается на сложение одинаковых слагаемых.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10

7 8 9 10

8 9 10

9 10

Основным является блок, выделенный в таблице. Запоминанию подлежат следующие случаи:

2 + 2 = 4

3 + 2 = 5 3 + 3 = 6

4 + 2 = 6 4 + 3 = 7 4 + 4 = 8

5 + 2 = 7 5 + 3 = 8 5 + 4 = 9 5 + 5 = 10

6 + 2 = 8 6 + 3 = 9 6 + 4 = 10

7 + 2 = 9 7 + 3 = 10

8 + 2 =10

Остальные случаи могут быть получены, используя переместительный закон сложения.

На четвертом этапеизучается прием вычитания на основе взаимосвязи между компонентами для случаев « – » 5, 6, 7, 8, 9.

Знакомство с взаимосвязью между компонентами и результатом действия сложения можно провести следующим образом:

Положите на парту 5 красных и 4 синих кружка. Сколько всего кружков положили? Как можно записать решение? (5 + 4 = 9) Назовите компоненты суммы.

1-ое слаг. 2-ое слаг. сумма

5 + 4 = 9

Итак, на парте у вас 9 кружков. Возьмите 4 синих кружка. Сколько кружков у вас осталось? Как запишем решение? (9 – 4 = 5). Назовите компоненты, используя первую запись.

Сумма 2-ое слаг. 1-ое слаг.

9 - 4 = 5

Какой вывод можно сделать: чтобы найти 1-ое слагаемое, надо из суммы вычесть 2-ое слагаемое.

Аналогично рассматривается и другой случай. На парте у вас 9 кружков. Возьмите 5 красных кружка. Сколько кружков у вас осталось? Как запишем решение? (9 – 5 = 4). Назовите компоненты, используя первую запись.

Сумма 1-ое слаг. 2-ое слаг.

9 - 5 = 4

Какой вывод можно сделать: чтобы найти 2-ое слагаемое, надо из суммы вычесть 1-ое слагаемое.

Приступая к раскрытию нового приема вычитания, учитель предлагает ученикам объяснить, как можно найти значение выражения 10 – 8? Выслушав различные предположения, учитель ставит задачу – найти более удобный прием вычисления. Учащиеся совместно с учителем вспоминают состав числа 10, выбирают «пример-помощник» (10=8+2). Если из суммы 8 и 2 вычесть 8, получится 2.

Аналогично находят значение других выражений. На следующих уроках для выработки навыка вычислений включают разнообразные упражнения.

В процессе изучения сложения и вычитания продолжается формирование понятия о числе нуль.

Число нуль является характеристикой пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента. Для того чтобы учащиеся представили себе такое множество, можно использовать различные методические приёмы.

Один из приёмов связан с установлением соответствия между числовой фигурой и цифрой, обозначающей количество предметов. Этим подходом можно воспользоваться до изучения сложения и вычитания, на этапе формирования у учащихся представлений о количественном числе.

Можно предложить задания с формулировкой «Что изменилось?» и изображением количественной и пустой совокупностей предметов.

Другой методический приём знакомит учащихся с нулём как результатом вычитания. Для этой цели им предлагаются предметные ситуации, которые они сначала описывают, а затем записывают решение с помощью числовых равенств. (У девочки было 2 тетради, она отдала учителю 2 тетради. Сколько тетрадей осталось у девочки?)

Если по программе М.И. Моро в качестве основного средства формирования у учащихся представлений о смысле действий сложения и вычитания выступают простые текстовые задачи, то в основе других подходов (Н.Б Истомина, Л.Г. Петерсон)лежит выполнение учащимися предметных действий и их интерпретация в виде графических и символических моделей. В качестве основной цели выступает осознание предметного смысла числовых выражений и равенств. Деятельность учащихся сначала сводится к переводу предметных действий на язык математики, а затем к установлению соответствия между различными моделями.

Например, детям предлагается иллюстрация, на которой Миша и Маша запускают рыбок в один аквариум. Организуя деятельность учащихся с данной предметной иллюстрацией, учитель подводит учащихся к выводу о том, что рыбки Миши и Маши объединяются в одном аквариуме. Затем учитель сообщает, что действия Миши и Маши можно записать на языке математики (2 + 3; 3 + 2). Эти записи даны под иллюстрациями и являются математическими выражениями, которые в математике называют суммой. Выясняется, чем похожи эти выражения и как можно эти выражения прочитать по-разному. Помимо выражений каждой иллюстрации можно поставить в соответствие определенное число. Далее учитель показывает, как записать равенство и знакомит учащихся с этим понятием, а также с термином «значение суммы».

Затем числовые равенства интерпретируются на числовом луче.

Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объединения: 1) увеличение данного предметного множества на несколько предметов;

2) увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному;

3) составление одного предметного множества из двух данных.

В процессе выполнения предметных действий у младших школьников формируется представление о сложении как о действии, которое связано с увеличением количества предметов.

При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:

1) уменьшение данного предметного множества на несколько предметов;

2) уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов;

3) сравнение двух предметных множеств.

В процессе выполнения предметных действий у младших школьников формируется представление о вычитании как о действии, которое связано с уменьшением количества предметов.

В основе усвоения взаимосвязи между компонентами и результатами сложения и вычитания лежит осознание учащимися предметного смысла этих действий. При этом следует учитывать, что особую трудность для некоторых детей представляет вычленение и удаление части множества, т.е. осознание тех предметных действий, которые связаны со смыслом вычитания.

В исследовании Г.Г. Микулиной было выявлено, что значительная часть учащихся при выполнении предметных действий, связанных с вычитанием, фиксирует скорее пространственное отделение, разъединение двух множеств, чем вычленение и удаление части из целого.

Рассмотрим некоторые методические приёмы, в которых учитываются описанные выше психологические особенности младших школьников:

Работая у доски с рисунками и дидактическими пособиями, полезно сначала предложить ученику показать предметные совокупности, с которыми он действует, а затем уже назвать число предметов в них.

Выполняя задания с рисунками, к которым дана запись вида –=, рекомендуется заполнять «окошки» не только в прямом порядке, но и начиная с любого.

Можно использовать задания такого же рода, но со скрытыми количествами. При их выполнении внимание учащихся сосредотачивается на соотнесении элементов схемы и предметных совокупностей.

Осознавая взаимосвязь компонентов и результатов действий, не все дети могут описать её, пользуясь математической терминологией: слагаемые, значение суммы, уменьшаемое, вычитаемое, значение разности. В этом случае целесообразно использовать понятия целого и части и соотношение между ними (часть всегда меньше целого; если убрать одну часть, то останется другая).

Понятие целого и части позволяет как бы «материализовать» такие термины, как слагаемые, уменьшаемое, вычитаемое (например, устанавливая соответствие между рисунком и математической записью).