Перетворення Лоренца. Кінематичні наслідки СТВ

Аналіз постулатів СТВ свідчить, що перетворення Галилея несумістні з ними. Так, закони класичної електродинаміки, сформульовані. Дж. Максвелом, виявилися неінваріантними щодо перетворень Галилея, тобто мали різний вигляд у різних ІСВ; класичний закон додавання швидкостей не відповідав другому постулату Ейнштейна тощо.

Як було з’ясовано, перетворення, які б задовольняли постулатам СТВ, були знайдені Г.А.Лоренцом у 1904 році, але їх фізична суть була розкрита Ейнштейном.

Припустимо, що система відліку К' рухається відносно системи К зі швидкістю u, яка спрямована уздовж загальної для обох систем осі х. Тоді перехід від інерціальної системи К до іншої ІСВ К' здійснюється за допомогою перетворень Лоренца у такому вигляді

(1.5.5)

(1.5.6)

(1.5.7)

Перетворення Лоренца симетричні і відрізняються знаком при u, якщо роздивляється перехід від системи К' до системи К.

Перетворення Лоренца задовольняють принципу відповідності, тобто при переходять у перетворення координат Галилея.

При перетворення Лоренца втрачають сенс, тобто рух фізичних тіл із швидкістю, що перебільшує швидкість світла неможливий.

Просторові і часові перетворення не являються незалежними. Перетворення Лоренца зв’язують просторові координати і час в одне нерозривне ціле, утворюючи так званий чотиривимірний простір-час.

Перерахуємо наслідки, які випливають із перетворень Лоренца.

Відносність одночасності.

Роздивимось випадок, коли у системі К дві події А и В відбуваються в одній і тій же точці (х_А = х_В) одночасно (t_A = t_B). Для даних умов, відповідно до перетворень Лоренца, х'_А = х'_B і t'_A = t'_B, тобто ці події в системі К' є одночасними й просторово співпадаючими.

Якщо в системі K події просторово роз'єднані (х_А ≠ х_B), але одночасні (t_А = t_B), то, відповідно до перетворень Лоренца, ці події в системі К', залишаючись просторово роз'єднаними ( ), виявляються й неодночасними ( ).

Поняття одночасності подій відносні, тобто залежить від системи відліку.

Довжина тіл у різних системах відліку (лоренцеве скорочення довжини).

Нехай тіло (стрижень) рухється разом з системою К' відносно системи К. з швидкістю u вздовж осі х. В системі відліку К', щодо якої стрижень покоїться, його власна довжина (стрижень розташований уздовж осі х). Згідно перетворень Лоренца в системі К, щодо якої стрижень рухається його довжина

(1.5.8)

Таким чином, довжина стрижня, що рухається, менше довжини, обмірюваної в системі, щодо якої він знаходиться у спокої (менше власної довжини) і в різних інерціальних системах відліку різна. Із рівнянь (1.5.3) виходить, що поперечні розміри тіла не залежить від швидкості руху й однакові у всіх інерціальних системах відліку.

Лоренцеве скорочення довжини – ефект кінематичний і взаємний: якщо в системах К и К' є два однакових стрижні, то з погляду кожної з них коротше той стрижень, що рухається щодо неї.

Тривалість подій у різних системах відліку (релятивістське вповільнення часу).

Якщо в системі відліку К' (вона рухається щодо системи К зі швидкістю u вздовж осі х) інтервал часу між двома подіями, що відбуваються в одній і тій же точці, дорівнює , то інтервал часу між цими подіями в системі К ( ) згідно перетворень Лоренца дорівнює

(1.5.9)

Таким чином, тривалість події, що відбувається в деякій точці, найменша в тієї інерціальній системі відліку, щодо якої ця система нерухлива. Отже, годинники, що рухаються відносно інерціальної системи відліку, ідуть повільніше годинників, що знаходяться у спокої.

Цей ефект кінематичний і взаємний: якщо з точки погляду K-cистеми повільніше йдуть годинники К'-системи, то з точки погляду К'-системи, навпаки, повільніше йдуть годинники К-системи (причому в тім же відношенні).

Релятивістський закон додавання швидкостей.

Рис. 1.5.2. Рух тіла у системах відліку К і К'

Нехай тіло рухається уздовж осі х' К'-системи зі швидкістю v₁ (рис. 1.5.2). В свою чергу система К' рухається щодо системи К зі швидкістю u. Вісі х і х' збігаються, а вісі y і у', z і z' паралельні. Із перетворень Лоренца отримуємо:

(1.5.10)

де v₁ – швидкість тіла відносно К'; v₂ – швидкість цього ж тіла відносно К.

Якщо u<<с і , то

(1.5.11)

і ми маємо закон додавання швидкостей у класичній механіці.

Якщо світловий імпульс у К'-cистемі рухається уздовж вісі x' зі швидкістю , то в системі відліку K

(1.5.12)