Графическое изображение статистического распределения

Статистическое распределение изображается графически (для наглядности) в виде так называемых полигона и гистограммы. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного (т. е. варианты отличаются на постоянную величину) статистического ряда.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами ; полигоном частостей - с координатами .

Варианты ( ) откладываются на оси абсцисс, а частоты и, соответственно, частости - на оси ординат.

Для непрерывно распределенного признака (т.е. варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину) можно построить полигон частот, взяв середины интервалов в качестве значений . Более употребительна так называемая гистограмма.

Гистограммой частот (частостей) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению - плотность частоты. Отношения и также являются плотностью частоты.

Очевидно, площадь гистограммы частот равна объему выборки, а площадь гистограммы частостей равна единице.

Пример 8.3. Построить полигон частостей для примера 8.1.

Решение:

Статистический ряд распределения данной задачи имеет вид

Отложив по оси х значения , а по оси у - , построим полигон частостей (рис.8.2).

Рис. 8.2.

Заметим, что .

Как видно, полигон частостей является статистическим аналогом многоугольника распределения.

Пример 8.4.Измерили рост (с точностью до см) 30 наудачу отобранных студентов. Результаты измерений таковы:

178, 160, 154, 183, 155, 153, 167, 186, 163, 155,

157, 175, 170, 166, 159, 173, 182, 167, 171, 169,

178, 165, 156, 179, 158, 171, 175, 173, 164, 172.

Построить: а) интервальный статистический ряд; б) используя результаты построить гистограмму частостей.

Решение:

а) Для удобства проранжируем полученные данные:

153, 154, 155, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 163,

164, 165, 166, 167, 167, 169, 170, 171, 171, 172,

173, 173, 175, 175, 178, 179, 179, 182, 183, 186.

Отметим, что X - рост студента - непрерывная случайная величина. При более точном измерении роста значения случайной величины X обычно не повторяются (вероятность наличия на Земле двух человек, рост которых равен, скажем метров, равна нулю!).

Как видим, , . По формуле Стерджеса, при , находим длину частичного интервала

Примем . Тогда . Исходные данные разбиваем на 6 ( ) интервалов: [150, 156), [156, 162), [162, 168), [168, 174), [174, 180), [180, 186).

Подсчитав число студентов ( ) попавших в каждый из полученных промежутков, получим интервальный статистический ряд:

б) Длина интервала равна . Находим высоты прямоугольников:

, , , , , .

Построим гистограмму частостей (рис. 8.3).

Рис. 8.3.

Гистограмма частот является статистическим аналогом дифференциала функции распределения (плотности) случайной величины X. Сумма площадей прямоугольников равна 1.

,

что соответствует условию для плотности вероятностей . На рис. 8.3 показана и плотность вероятностей .

Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то получим полигон того же распределения.