Геометрия дифракции на идеальной периодической структуре.

Как показано в разделе 3.2 при рассеянии нейтронов на монокристалле дифракционные пики образуются, если выполняется условие k= k₁ –k₀= 2pH. Переходя от векторов к их модулям (рис. 5-1) получим соотношение ksinq = H, причем k = k₁ = k₂. После подстановки 2p/l вместо k и 1/d вместо H, оно переходит в форму­лу Вуль­фа-Брэгга:

2d∙sinq = l. (5.1)

В англоязычной литературе формулу 2d∙sinq=l как правило называют законом Брэгга (Bragg law), хотя она была практически одновременно и независимо выведена в 1913 г. отцом и сыном Брэггами (W.G. Bragg & W.L. Bragg) и профессором МГУ Ю.В. Вульфом. Ее первоначальный вывод был основан на ин­тер­пре­та­ции дифракции излучения на кристаллической решетке как зер­каль­ного отра­же­ния во­л­ны от на­бо­ра пло­с­ко­стей с рас­сто­я­ни­ем d ме­ж­ду ни­ми, хотя следует подчеркнуть, что никаких реальных плоскостей в кристалле нет и формулу Вульфа-Брэгга можно рассматривать как один из случаев, когда сильно упрощенная (и даже в принципе неправильная) физическая модель дает правильный результат.

Оба ус­ло­вия – векторное k= 2pHи скалярное 2d∙sinq = l – воз­ни­к­но­ве­ния дифракцион­ных пи­ков необходимы при ана­ли­зе ди­ф­рак­ции на мо­но­кри­стал­ле (первое) и по­ли­кри­стал­ле (второе). В пер­вом случае стро­ит­ся так на­зы­ва­емая диа­грам­ма Эваль­да(рис. 5-2), изо­б­ра­жа­ю­щая сечение об­рат­но­го про­стран­с­т­ва в ви­де точек - уз­лов об­рат­ной ре­шет­ки и векторный треугольник k₁ - k₀ = 2pH, как-то фиксированный относительно обратной решетки. Ве­к­тор k₀ проводится в произвольный узел обратной решетки, принятый за начало координат базиса {b_i}, его ори­ен­тация по от­но­ше­нию к векторам b_i определяется ориентацией кристалла относительно первичного пучка. Ве­к­тор k₁ составляет угол 2q с k₀ и на­пра­в­лен в детектор. Если обратная решетка построена на базисе {b_i} в соответствии с формулами:

b₁=[a₂a₃]/V_c, b₂=[a₃a₁]/V_c, b₃=[a₁a₂]/V_c, (5.2)

где V_c = a₁[a₂a₃] - объ­ем кристаллической ячей­ки, то при построении треугольника k₁ - k₀ = 2pH вектора k₁ и k₀ необходимо разделить на 2p, т.е. строить треугольник k¢₁ - k¢₀ = H, где для модулей векторов справедливо k¢₁ = k¢₀ = k₀/2p = 1/λ.

Векторное условие k₁ - k₀ = 2pH естественно является более общим, чем формула Вульфа-Брэгга, поскольку помимо соотношения между величинами векторов, задает и их направления. Кроме того, интерпретация дифракции на кристалле как рассеянии в одном из узлов обратной решетки помогает понять, что так называемые порядки отражения являются рассеянием в узлах с кратными индексами Миллера: 1-й порядок – рассеяние в узле (h, k, l), n-й порядок - рассеяние в узле (nh, nk, nl).

Если нейтронный эксперимент ставится на l₀-дифрактометре, т.е. если длина вектора k₀ фиксирована, то также как в случае дифракции рентгеновских лучей удобно ввести понятия сферы отраженияи сферы ограничения(рис. 5-3). Первая получается при заданной ориентации k₀ относительно кристаллографической системы координат (т.е. неподвижном кристалле) и вращении детектора в любой плоскости от 0 до 2p (т.е. вращении вектораk₁ вокруг точки О). Очевидно, что дифракция будет наблюдаться только для узлов обратной решетки, попавших на сферу отражения и, в принципе, возможен случай, когда при фиксированной ориентации кристалла относительно монохроматического пучка не возникает ни одного дифракционного пика, т.е. когерентное рассеяние отсутствует.

Если изменять не только угол рассеяния, но и ориентацию кристалла относительно k₀, то получается сфера ограничения. Ее смысл в том, что дифракция может наблюдаться только для узлов обратной решетки, попавших внутрь этой сферы. Уравнение для сферы ограничения легко получить из формулы Вуль­фа-Брэгга, а именно, поскольку sinq £ 1, то d ³ l₀/2 или H £ 2/l₀. Отсюда следует, что для измерения дифракционных пиков с большими индексами Миллера (малые d или большие H) длину волны следует уменьшать.

5.2. Многомерная нейтронная дифрактометрия.

В случае монохроматического пучка и при использовании “точечного” детектора, т.е. детектора, охватывающего очень малый телесный угол, при фиксированном положении монокристалла и детектора ре­ги­ст­ри­ру­ет­ся ин­тен­сив­ность, со­от­вет­ст­ву­ю­щая од­ной “точке” об­рат­но­го про­стран­с­т­ва. На самом деле это некоторый небольшой объем в обратном пространстве, называемый объ­е­мом раз­ре­ше­ния, величина и форма которого задается функцией разрешения R(Q). Номинальные координаты объема разрешения, например, его центр тяжести, задаются условием H= (k₁ - k₀)/2p, причем длины векторов k₀ и k₁ определяются длиной волны, а угол между ними – углом рассеяния (рис. 5-4).

Для измерения параметров дифракционных пиков – интенсивности, положения, ширины и т.д. – необходимо осуществить сканирование (или развертку) обратного пространства, т.е. провести измерение интенсивности рассеяния как функции координат точки в обратном пространстве. Ска­ни­ро­ва­ние в случае монохроматического пучка и точечного детектора можно ре­а­ли­зовать по­во­ро­тами кри­стал­ла от­но­си­тель­но пер­вично­го пучка, из­ме­не­нием уг­ла де­те­к­то­ра или того и другого вместе. Конкретный алгоритм сканирования зависит от постановки задачи и от некоторых условий эксперимента: расходимости первичного пучка, Dl/l, апертуры детектора, а также от мозаичности исследуемого монокристалла.

Вместо точечного детектора могут быть использованы 1D или 2D позиционно-чувствительные детекторы. Соответственно вместо точки будут наблюдаться (сканироваться) линия или поверхность в обратном пространстве – соответствующая часть сферы Эвальда. При пересечении ими узлов обратной решетки будут регистрироваться дифракционные пики.

Еще боль­ше ва­ри­ан­тов воз­ни­ка­ет на им­пульс­ных ис­точни­ках ней­тро­нов при использовании полихроматического пучка. В этом случае длины векторов k₀ и k₁ не фиксированы, а непрерывно изменяются от k_min до k_max, которые соответствуют максимальной и минимальной длинам волн в спектре нейтронов от источника (λ_max и λ_min). Значения λ_min и λ_max условно задаются некоторым минимальным уровнем интенсивности в максвелловском спектре нейтронов (рис. 5-5). На рис. 5-6 и 5-7показано, что в этом случае при использовании точечного детектора обратное пространство сканируется вдоль вектора H, а при использовании 1D ПЧД – в некотором секторе в плоскости рассеяния. Если применяется двух координатный ПЧД, то показанный на рис. 5-7сектор разворачивается еще и в вертикальной плоскости, т.е. реализуется наиболее общая схема трех­мер­но­го сканирования, причем без каких-либо поворотов кристалла или детектора. Именно размерность одновременно наблюдаемой области обратного пространства имеется в виду, когда говорят о нуль-, одно-, двух-илитрехмерной дифрактометриимонокристаллов.

Для по­ли­кри­стал­лов си­ту­а­ция су­ще­ст­вен­но уп­ро­ща­ет­ся из-за ус­ред­не­ния по всем воз­мо­ж­ным ори­ен­та­ци­ям ве­к­то­ра H. Из­ме­ре­ние ней­тро­но­грам­мы сво­дит­ся к из­ме­ре­нию за­ви­си­мо­сти ин­тен­сив­но­сти от d, т.е. ре­аль­но от 2q или от l. Оба случая мо­ж­но изо­б­ра­зить на диа­грам­ме (рис. 5-8), де­мон­ст­ри­ру­ю­щей воз­ни­к­но­ве­ние ди­ф­рак­ци­он­ных пи­ков при ис­поль­зо­ва­нии мо­но­хро­ма­тичес­ко­го пучка и раз­вер­т­ки по q или бе­ло­го пучка и регист­ра­ции ин­тен­сив­но­сти при фи­к­си­ро­ван­ном уг­ле рас­се­я­ния.