Оценка прочности. Понятие о деформационном расчете

Работа и расчет элементов КДП на продольно-поперечный изгиб.

Для сжато-изогнутых и внецентренно-сжатых элементов характерно одно и то же напряженное состояние: все три усилия M, Q и N, - не равны нулю (рис. 8.1). К сжато-изогнутым элементам относятся различные типы арок, рам и колонн.

Работа сжато-изгибаемых деревянных элементов характеризуется:

· достаточно высокой прочностью и жесткостью: нормативно-расчетные характеристики (R _и, R _с , E ) - такие же, как и при изгибе

· достаточно высокой надежностью (показатели надежности и влияния длительности действия нагрузки - такие же, как и при изгибе).

· нелинейностью зависимости «нагрузка - напряжения (деформации)» даже в пределах линейно-упругой работы материала.

Характер разрушения и характеристика предельного состояния. Существует два варианта достижения предельного состояния для сжато-изогнутых деревянных элементов.

Вариант 1. Разрушение наступает как и при обычном изгибе вследствие достижения на кромках предельных деформаций сжатия или растяжения.

Вариант 2. Разрушение наступает вследствие потери элементом своей устойчивой формы. Другими словами еще до развития на кромках предельных деформаций элемент стремится принять новую форму равновесия, что в итоге, приводит к изменению напряженного состояния и более быстрому разрушению. Обычно это явление связано с развитием неупругих деформаций и называется «потеря устойчивости второго рода» в отличие от «потери устойчивости первого рода», связанной с бифуркацией, т.е. внезапным изменением формы стержня и сохранением для него нескольких возможных форм равновесия

Сводка основных расчетных формул:

· проверка прочности (и, - одновременно - устойчивости в плоскости конструкции ) на действие нормальных напряжений

s = M_деф / W_расч + N_деф / A £ R _и m_i /g₀ ,

где M_деф и N_деф- расчетные усилия, определенные в деформированной расчетной схеме (подробнее - ниже)

· проверка прочности на действие касательных напряжений

t = Q_деф S / (I b) £ R _ск m_i /g₀

· проверка устойчивости плоской формы деформирования

M / M_cr + N / N_cr £ 1.

Оценку деформативности сжато-изгибаемых элементов не выполняют. Косвенно деформативность стержней ограничена величиной предельной гибкости [l ] = 120.

Оценка прочности. Понятие о деформационном расчете

Итак, основной особенностью работы сжато-изогнутых стержней является нелинейная зависимость между нагрузкой с одной стороны и прогибами или усилиями - с другой стороны. Поэтому принцип независимости и сложения действия сил ( s(N) и s(M) ) в данном случае неприменим. Возникает достаточно серьезная проблема определения усилий в деформированной конструкции.

В курсах «Металлические конструкции» и «Железобетонные конструкции» эта проблема решается следующим образом. Найденное усилие (только N !) сравнивается с предельным значением N _cr , которое через эксцентриситет e = M / N связано с изгибающим моментом. Так, в СНиП «Стальные конструкции» вводится понятие коэффициента продольного изгиба при внецентренном сжатии:

N £ N _cr = j_e R_сA

Такой подход не учитывает характер распределения момента по длине стержня, но зато находится в полном соответствии с принципами метода расчета по предельным состояниям и позволяет учесть физическую нелинейность в работе материала.

Иначе решается проблема оценки прочности сжато-изогнутых деревянных стержней. За критерий оценки прочности и устойчивости принимается не усилие N, а краевые напряжения s , что противоречит принципу расчета по предельным состояниям, но зато позволяет получить удобные расчетные формулы, отвечающие физическому существу задачи, и учесть распределение усилий по длине стержня. К тому же специфика деревянных сжато-изогнутых конструкций заключается в том, что напряжения от момента являются доминирующими s(M) >> s (N). Недостаток такого подхода - невозможность учета физической нелинейности материала, отчасти компенсируется тем, что принято считать, что деревянные конструкции в рамках расчетной нагрузки должны работать только в пределах упругости. В расчетной формуле

s = M_деф / W_расч + N_деф / A £ R _и m_i /g₀ ,

значение деформационного момента M_деф , а по сути здесь происходит учет «геометрической» нелинейности, - допускается определять ориентировочно посредством вычисления коэффициента x

M_деф = M_q / x ,

x = 1 - N / N _cr = 1 - N /( k_жNx j RA )

j = 3000 / l² (при любой гибкости)

где M_q - изгибающий момент, определенный обычным способом, по недеформированной расчетной схеме. Использование коэффициента x (кси) в расчетах в целом достаточно хорошо отражает работу конструкции, однако в ряде случаев он дает большую погрешность (правда - в запас прочности), поскольку получен коэффициент x из рассмотрения частного случая, результаты которого распространены с известной долей погрешности на все остальные возможные варианты распределения нагрузки и усилий.

В основе определения коэффициента x лежит основное дифференциальное уравнение изгиба

d²f /dx² = - M / EI (8.1)

и условная расчетная схема, приведенная на рис. 8.3. Подставляя в (8.1)

M = M_q + Nf и f = f₀ sin (px / L),

и дважды дифференцируя, получим для x = L / 2

d²f /dx² = - ( M_q + Nf₀ )/ EI или

- f₀p² / L² sin (px / L) = - M_q / EI - Nf₀ / EI или

p²EI f₀ / L² = M_q + Nf₀

Отсюда

f₀ = M_q / (N _cr - N)

Подставим найденное значение f₀ в формулу для определения нормальных напряжений в сжато-изгибаемом элементе

s = M_q / W + N f₀ / W + N / A = M_q / W + M_q N / (N _cr - N)W + N / A =

= M_q / W ( 1 + N / (N _cr - N) )+ N / A = M_q / W ( N _cr / (N _cr - N) )+ N / A =

= M_q / W ( 1 / (1 - N / N _cr) )+ N / A = M_q / (W x)+ N / A ,

где

x = 1 - N / N _cr = 1 - N /(j RA )

Нормы проектирования предлагают поправки к коэффициенту x в том случае, когда эпюра моментов имеет несинусоидальный характер, а также в том случае, когда имеется возможность разбить эпюру моментов на симметричную и кососимметричную части.

Расчет с использованием коэффициента x дает не фактические, а фиктивные, несколько заниженные значения напряжений s , поскольку в расчетную формулу введено значение критической силы, взятой с запасом в n = s _вр / R_с для достижения требуемого интервала между расчетной и разрушающей нагрузкой

N _cr = j R_сA .

Для того чтобы определить фактические напряжения необходимо подставить в расчетную формулу настоящее значение критической силы

N _cr = j s _вр A .

Возможны случаи, когда коэффициент x > 1 (когда напряжения от момента составляют менее 10%). Это связано с тем, что в отличие от расчета на осевое сжатие при внецентренном изгибе не учитывается физическая нелинейность работы древесины и гибкость определяется только по одной из формул для j (см. ранее).

j = 3000 / l²

В этом случае ведут расчет сжато-изгибаемого элемента как центрально сжатого.

Наиболее перспективный способ расчета сжато-изгибаемых элементов, который освобождает от многочисленных условностей и поправок, связанных с применением коэффициента x (а также и других коэффициентов типа k_жМ и k_пМ), - это использование численных машинно-ориентированных способов деформационного расчета, когда в итоге статического расчета определяются деформированная ось конструкции и усилия в уже сдеформированной конструкции. Напряжения определяют по простой формуле и, естественно, уже без коэффициента x :

s = M_деф / W_расч + N_деф / A £ R _и m_i /g₀ .

При выполнении деформационного расчета следует задавать модуль упругости древесины. Для того, чтобы сохранить требуемый запас между расчетной и разрушающей нагрузкой следует условно принимать модуль упругости E = 300R_c (т.е. примерно 4000 МПа)

Поскольку между изгибающим моментом и поперечной силой при изгибе существует дифференциальная зависимость (dQ = dM / dx), в расчетной формуле для определения касательных напряжений присутствует коэффициент x

t = Q_деф S / (I b) = Q_q S / (x I b) £ R _ск m_i /g₀