Расчет рам на устойчивость методом перемещений

При расчете рам на устойчивость предполагается, что нагрузка приложена в узлах, как показано на рис.2. Поэтому система канонических уравнений метода перемещений записывается в виде

Условием потери устойчивости рамы является равенство нулю определителя системы уравнений (6). Следовательно

(7)

Коэффициенты определителя в формуле (7) зависят от параметра нагрузки (см. формулы (5) и (6) и табл.1). Решение задачи сводится, таким образом, к отысканию такого значения этого параметра, которое обращает в нуль определитель (7). Это и будет критическое значение параметра нагрузки.

После определения критического параметра усилия в сжатых стержнях, соответствующие потере устойчивости могут быть найдены из соотношения

.

(8)

т.е.

.

(9)

Напомним, что для произвольным образом опертого стержня критическая сила определяется по формуле

.

(10)

Приведем формулу (9) к виду (10).

.

(11)

где .

Как отмечалось выше, параметр называется коэффициентом приведения длины стержня. Он позволяет найти гибкость стержня по формуле , где - минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня. Значения гибкости стержней определяют жесткость конструкции. Поэтому для удовлетворения условиям жесткости в нормах проектирования конструкций устанавливаются предельные значения гибкости. Так, для поясов, раскосов и стоек ферм, а также для основных колонн допускаемая гибкость равна 120, для второстепенных колонн –150 и т.д.

Описанный выше способ решения уравнения устойчивости (7) путем подбора параметра приемлем лишь для конструкций с небольшим числом неизвестных. Для реальных конструкций, имеющих большое количество неизвестных, такой подход оказывается весьма трудоемким и, вследствие этого, неприемлемым. Развитию методов расчета на устойчивость было посвящено очень большое число исследований. Опуская историю развития вопроса, отметим, что в настоящее время уравнения метода перемещений с использованием матричных формулировок записываются в следующем виде

.

(12)

где - матрица жесткости, зависящая от упругих свойств конструкции и определяемая так же, как и в статических расчетах, - матрица жесткости, зависящая от начальных напряжений (от продольных сил), р – параметр нагрузки.

Матрицу в настоящее время принято называть матрицей начальных напряжений. Решение задачи сводится к определению критического параметра нагрузки и соответствующей формы потери устойчивости . Задача решается с применением методов линейной алгебры и специальных методов, разработанных в строительной механике, на электронных вычислительных машинах.