ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

9. 1. Установим условия, при которых число вида , где а, b Î N, (а, b) =1, а < b, преобразуетсяв тот или иной вид систематической дроби (для случая, когда t = 10, то есть в десятичной системе счисления).

Пусть t = 10 = 2×5, а в числе знаменатель b имеет вид:

(q_i – простые числа), то есть b = b' × b₁ Тогда:

I Если знаменатель b = b' (содержит только "2" и / или "5"), – то дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Количество десятичных знаков равно наименьшему натуральному числу l, удовлетворяющему сравнению 10 ^l º 0(mod b' ).

II Если знаменатель b = b₁ (не содержит "2" и "5"), – то дробь преобразуется в бесконечную чисто периодическую десятичную дробь. Длина периода равна наименьшему натуральному числу k, удовлетворяющему сравнению 10 ^k º 1(mod b₁).

III Если знаменатель b = b' × b₁ (содержит "2" и / или"5", а также иные простые множители), – то дробь преобразуется в бесконечную смешанную периодическую деся-

тичную дробь.

Длина периода равна наименьшему натуральному числу k, удовлетворяющему сравнению 10 ^k º 1(mod b₁ ).

Длина предпериода равна наименьшему натуральному числу l, удовлетворяющему сравнению 10 ^l º 0(mod b' ).

9. 2. Выводы.

a	↗	к о н е ч н а я д е с я т и ч н а я д р о б ь		рацион. число   иррацион. число
↘	бесконечная десятичная дробь		1) чисто периодическая дробь 2) смешанная периодич. дробь 3) непериодическая дробь

9. 3. Отметим, что:

рациональным числом является всякая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая десятичная дробь;

иррациональным числом является всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Данные обыкновенные дроби, записанные в десятичной системе, преобразовать в

десятичные, предварительно определив вид искомой дроби (конечная или бесконечная; периодическая или непериодическая; если – периодическая, то чисто периодическая или смешанная периодическая); в последних случаях – предварительно найти число k – длину периода и число l – длину предпериода. 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) У дроби = знаменатель – число b = 80 = 2⁴ × 5 содержит только "2" и "5". Поэтому данная дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Количество десятичных знаков l _наим определяется из условия: 10 ^l º0(mod80):

Имеем:10 1º10(mod80), 10 2= 100 º20(mod80), 10 3º200 º 40(mod80), 10 4º400 º 0(mod80).

Следовательно, l наим = 4, то есть искомая десятичная дробь будет иметь 4 десятичных знака. Проверка: разделим "уголком" 3 на 80 и получим: = 0, 0375.

2) У дроби = знаменатель – число b = 27 = 3³ не содержит "2" и "5". Поэтому данная дробь преобразуется в бесконечную чисто периодическую десятичную дробь. Длина периода k _наим определяется из условия: 10 ^k º1(mod27):

Имеем: 10 1º10(mod27), 10 2º100–81º19(mod27), 10 3º190 º190 – 7×27 º º 190 – 189 º 1(mod27).

Следовательно, k наим = 3, то есть в искомой десятичной дроби будет период длиной k = 3. Проверка: разделим "уголком" 2 на 27 и получим: = 0, (074).

3) У дроби = знаменатель – число b = 24 = 2³ ×3, то есть имеет вид: b = b' × b₁ (кроме "2" или "5" содержит и иные множители, в данном случае число 3). Поэтому данная дробь преобразуется в бесконечную смешанную периодическую десятичную дробь. Длина периода k _наим определяется из условия: 10 ^k º1(mod3), откуда k _наим = 1, то есть длина периода k = 1. Длина предпериода l _наим определяется из условия: 10 ^l º0(mod8), откуда l _наим = 3, то есть длина предпериода l = 3.

Проверка: разделим "уголком" 5 на 24 и получим: = 0, 208 (3).

Ответ: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).