ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

1. ЦЕЛЫЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

8. 1. Определение 1.

Системой счисления называется всякий способ записи чисел. Знаки, с помощью которых записывают эти числа, называют цифрами.

8. 2. Определение 2.

Целым неотрицательным систематическим числом, записанным в t -ичной позиционной системе счисления, называется число n вида

, где ai (i = 0,1, 2,…, k) – целые неотрицательные числа – цифры, причём 0 £ ai £ t – 1, t – основание системы счисления, tÎN, t > 1.

Например, запись числа в 7-ричной системе имеет вид: (5603)7 = 5 ×73 + 6×72 + 0×71 + 3. Здесь ai – это 5, 6, 0, 3 – цифры; все они удовлетворяют условию: 0 £ ai £ 6. При t =10 говорят: число n записано в десятичной системе счисления, причём индекс t=10не пишут.

8. 3. Теорема 1.

Всякое целое неотрицательное число может быть представлено, причём единственным образом, в виде систематического числа по любому основанию t, где t Î N, t > 1.

Пример: (1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …

8. 4. Отметим, что:

1) приписывание к систематическому числу нулей слева не изменяет этого числа:

(3 4)5 = (0 3 4)5.

2) приписывание к систематическому числу s нулей справа равносильно умножению этого числа на t s: (3 4)5 = 3×51 + 4; (3 4 0 0)5 = 3×53 + 4×52 + 0×51 + 0 = 52×(3×51 + 4).

8. 5. Алгоритм перевода числа, записанного в t -ичной системе, в десятичную:

Пример: (287)12 = 2×122 + 8×121 +7×120 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391)10.

8. 6. Алгоритм перевода числа, записанного в десятичной системе, в t -ичную:

Пример: (3 9 1)10 = (х) 12. Найти х.

Находим остатки от деления на основание системы t = 12: 1) данного числа 391 на 12, получим r1 = 7 ; 2) первого частного 32 на 12, получим r2 = 8 ; 3) второго частного 2 на 12, получим r3 = 2 ; Искомое число х составляется из остатков, записываемых последовательно, начиная с последнего: х = (2 8 7)12 . 391 36 31 24  
32 24  
2  
8 = r2 0 0
7 = r1 2 = r3

8. 7. Действия над систематическими числами

осуществляются с помощью таблиц сложения и умножения размером t ´ t. Например, при t = 2 таблицы имеют вид: + 0 1   ´ 0 1
0 1 1 10 0 0 0 1

2. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ

8. 8. Определение 3.

Конечной t-ичной систематической дробью в системе счисления с основанием t называется число вида

где c0ÎZ , сi – цифры целые неотрицательные числа, причём 0 £ сi £ t – 1, t Î N, t > 1, k Î N .

Обозначение: a = (c0 , с1с2сk )t. При t = 10 дробь называется десятичной.

8. 9. Следствие 1.

Всякая конечная систематическая дробь есть рациональное число, которое можно представить в виде , где а Î Z, b Î N.

Пример. a = (3 1, 2 4)6 = 3×6 + 1 + =19 + – рациональное число. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, дробь нельзя преобразовать в конечную систематическую (десятичную) дробь.

8.10. Определение 4.

Бесконечной t-ичной положительной систематической дробью в системе счисления с основанием t называется число вида

, где с0 Î N, сi (i =1, 2, …, к , …) – цифры целые неотрицательные числа, причём 0 £ сi £ t –1, tÎN, t >1, kÎN.

Обозначение: a = (с0 , с1 с2 сk …) t. При t =10 дробь называется десятичной.

8.11. Определение 5.

Возможны три вида бесконечных систематических дробей:

I a = (с0 , )t = = t , где = = = … В этом случае число a называется бесконечной чисто периодической дробью, (с1 с2 сk) – периодом, k– количество цифр в периоде – длиной периода.

II a = .

В этом случае число a называется бесконечной смешанной периодической дробью, – предпериодом, ( ) – периодом, k – количество цифр в периоде – длиной периода, l – количество цифр между целой частью и первым периодом – длиной предпериода.

III a = (с0, с1 с2 сk … )t . В этом случае число a называется бесконечной непериодической дробью.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Число (а)5 = (2 1 4 3) 5, заданное в 5–ричной системе, перевести в 7-ричную систему, то есть найти х, если (2 1 4 3) 5 = (х)7 .

Решение.

1) Преобразуем данное число (2 1 4 3) 5 в число (у)10, записанное в десятичной системе:

(2 1 4 3) 5 = 2×53 +1×52 + 4×5 +3 = = 2×125 +1×25 + 4×5 +3 =250 +25 + 20+3 = (2 9 8) 10. 2) Преобразуем полученное число (у)10 в семеричную систему (х)7 (см. справа): Ответ: (2 1 4 3) 5 = (6 0 4) 7. 298 28 18 14 4 = r1    
42 42  
6  
0 = r2   0 0 6 = r3

2. Выполните действия:

1) (7) 8 + (5) 8; 2) (7) 8 × (5) 8; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6;

Times; (3 2) 5; 6) (3 0 1 4 1) 5 : (4 2 3) 5.

Решение.

1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;

2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;

3) (3 6 4 2)6 + (4 3 5 1)6 (1 2 4 3 3)6 Примечание: 4+5 = 9 = 1×6+3, 3 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 6+3+1=10 =1×6+4, 4 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 3+4+1= 8 = 1×6+2, 2 пишем, 1 переходит в следующий разряд.
4) (5 2 3 4)7 (2 3 5 1)7 (2 5 5 3)7 Примечание: "занимаем" единицу высшего разряда, т. е. "1" = 1×7: (3 + 1×7 ) – 5 = 10 – 5 = 5, (1 + 1×7 ) – 3 = 8 – 3 = 5,
5) (4 2 3)5 ´ ( 3 2)5 (1 4 0 1)5 +(2 3 2 4)5__ (3 0 1 4 1)5 Примечание: При умножении на 2 : 3 ×2 = 6 = 1×5 + 1, 1 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 2 ×2 +1=5 = 1×5 +0, 0 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, 4 пишем, 1 переходит в следующий разряд, При умножении на 3 : 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, 4 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 3 ×2 +1=7 = 1×5 +2, 2 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 3 ×4 +1=13=2×5 +3, 3 пишем, 2 переходит в следующий разряд.

6) (3 0 1 4 1)5 | (4 2 3)5

2 3 2 4 (3 2)5

1 4 0 1

1 4 0 1 Ответ: 1) (1 4)8; 2) (4 3)8; 3) (1 2 4 3 3)6; 4) (2 5 5 3)7;

(0)5 5) (3 0 1 4 1)5; 6) (3 2)5 .



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ | ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ


Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 25; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2018 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.