Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х,у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dx z = f(x+Dx,y)–f(x, y) называется частным приращением функции по х.Можно записать .

Тогда называется частной производнойфункции z = f(x, y) по х. Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смысломчастной производной является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Пример 4. Найти все производные первого порядка:

а) .

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим . Рассматривая х как постоянную величину, получим .

б) .

Решение. ; .

в) .

Решение. ; .

г) .

Решение. Рассматривая у и z как постоянные величины, получим .

Рассматривая хи z как постоянные величины, получим .

Рассматривая хи у как постоянные величины, получим .

Пример 5.Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Находим , .

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:

Пример 6.Найти , если , .

Решение. Находим , , , .

.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Предел и непрерывность функции двух переменных | Полное приращение и полный дифференциал функций нескольких переменных


Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 64; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2018 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.