Предел и непрерывность функции двух переменных

Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х,у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие , также верно и условие .

Записывают:

Пример 2. Вычислить пределы:

а) .

Решение. .

б) .

Решение. Функция определена в проколотой окрестности точки О(0; 0) вне прямой ; поэтому условие означает, что .

Если здесь применять обычный метод «проб и ошибок», то можно получить следующие результаты:

1) устремим М(x; y)к О(0; 0) вдоль оси Ох, т.е. примем у=0, а , то ;

2) устремим М(x; y)к О(0; 0) вдоль оси Оу, т.е. примем х=0, а , то .

Разные предельные значения означают, что данный предел не существует.

3) .

Решение.

.

Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х00), если (1); причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрывафункции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен f(x0, y0).

Пример 3. Непрерывна ли функция при , и .

Решение.Проверим условия непрерывности функции в точке О(0; 0):

1) Функция f(x, y) определена в окрестности этой точки.

2) , так как имеем , а ограничена.

3) Предел в точке равен значению функции в этой точке . Функция непрерывна в точке О (0; 0).

Функция непрерывна в каждой точке как комбинация непрерывных элементарных функций.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Формулы для вычисления кривизны линии | Производные и дифференциалы функций нескольких переменных


Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 79; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2018 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.