Примеры сечений ядерных реакций. Получение нейтронов.

Для легких ядер сечения реакций с образованием альфа частиц не для всех нуклидов являются пороговыми. ⁶Li(n,α)³H и ¹⁰B(n,α)⁷Li идут для нейтронов всех энергий. Очень высокое сечение поглощения медленных нейтронов наблюдается для кадмия. У кадмия семь стабильных изотопов: 152, 154, 155, 156, 157, 158, 160.

Для описания резонансного микроскопического сечения нуклидов в теории ядерных реакторов используется формула Брейта – Вигнера. Если обозначить Е – кинетическую энергию нейтрона, Г_в – ширину уровня, т. е. вероятность испускания частицы «в» после распада составного ядра, а Г – сумму парциальных ширин возможных для данной энергии нейтрона каналов реакций, то

где Е_r – энергия резонансного уровня, а А – некоторая константа.

Исследование этого выражения обнаруживает большое число качественно интересных особенностей. Когда кинетическая энергия значительно меньше резонансного значения, величина второй дроби почти постоянна по величине, следовательно, так как кинетическая энергия пропорциональна v², то

где В – некоторая константа.

Таким образом, для энергий нейтрона, малых по сравнению с энергией первого резонанса, микроскопическое сечение должно быть обратно пропорционально скорости нейтрона. При приближении к энергии первого резонанса сечение должно быстро расти и при энергии нейтрона, равной энергии резонанса наступает максимум сечения

Таким образом, сечение в резонансе уменьшается, когда резонансная энергия растет.

Еще раз вернемся к терминологии, связанной с энергией нейтронов. Быстрыми нейтронами обычно называют нейтроны с энергией выше 100 кэВ. Резонансными нейтронами называют нейтроны с энергиями разрешенных и неразрешенных резонансов изотопов урана. Медленными или тепловыми нейтронами называют нейтроны, находящиеся в тепловом равновесии с атомами или молекулами той среды, в которой они находятся. Иногда нейтроны с энергией, меньшей чем быстрые, но больше чем тепловые, называют замедляющимися нейтронами.

Получение нейтронов

Нейтроны, как было сказано ранее, можно получать, облучая легкие элементы: бериллий, бор и литий альфа частицами. Например, смесь 5 грамм бериллия и 1 грамма радия испускает около 10 – 15 миллионов нейтронов в секунду.

Нейтроны, полученные под действием альфа частиц из бериллия, обладают сравнительно высокими энергиями (спектр, график). Недостаток использования радия – сильное гамма-излучение, которое он испускает. В настоящее время в качестве источника альфа частиц используют ²³⁸Pu, ²³⁹Pu.

Из искусственных изотопов, получаемых при переработке топлива ядерных реакторов, высокую скорость спонтанного деления имеет²⁵²Cf. Калифорниевые источники в настоящее время получили широкое применение в науке и технике. Спектр нейтронов источника соответствует спектру нейтронов деления. Мощность источника прямо пропорциональна весу или числу ядер калифорния.

Гамма кванты высокой энергии при взаимодействии с дейтерием и бериллием приводят к образованию фотонейтронов

Ядро бериллия-8 чрезвычайно неустойчиво и почти мгновенно распадается на два ядра гелия-4.

Минимальная энергия гамма квантов для реакции на бериллии равна 1,6 МэВ, а для реакции на дейтерии 2,21 МэВ.

Наряду с относительно компактными источниками, описанными выше, существуют различные методы получения нейтронов при помощи ускорителей. Наиболее распространенный способ состоит в том, что ионы дейтерия, ускоренные при помощи ускорителя, бомбардируют дейтериевую или тритиевую мишень. В этом случае происходят следующие ядерные реакции.

И самый широко используемый в настоящее время источник нейтронов это ядерный реактор.

Все выше описанные источники нейтронов дают нейтроны, обладающие довольно высокой кинетической энергией. Чтобы стать медленными нейтронами, им необходимо потерять эту кинетическую энергию и прийти в тепловое равновесие с окружающей средой. Потеря кинетической энергии при упругом столкновении тем больше, чем меньше массовое число рассеивающих ядер. Это означает, что быстрые нейтроны замедляются более эффективно в среде, содержащей ядра с малыми массовыми числами. Замедление нейтронов играет важнейшую роль в большинстве ядерных реакторов. Вещества, применяемые для этой цели, называются замедлителями. Процесс замедления в результате рассеяния при столкновениях иногда обозначается термином торможение. Хорошим замедлителем является, следовательно, вещество, уменьшающее скорость быстрых нейтронов в результате небольшого числа столкновений. К таким веществам относятся обыкновенная вода, тяжелая вода, графит. Хороший замедлитель не должен сильно поглощать нейтроны, поэтому такие легкие элементы, как литий и бор, очень сильно поглощающие медленные нейтроны, неприменимы как замедлители.

Вернемся опять к задаче теории ядерных реакторов, которая состоит в определении поведения нейтронов в рассеивающих, поглощающих и размножающих средах. Ввиду того, что эффективные сечения различных процессов сложным образом зависят от энергии нейтронов, крайне затруднительно точно описать судьбу нейтронов, родившихся в результате деления ядер, в ходе их рассеянья и замедления, поглощения или ухода из системы, не делая каких-либо упрощающих предположений. В основе любой теории ядерных реакторов лежит так называемый закон сохранения, или баланса, нейтронов.

Допустим 100 медленных нейтронов, поглощенных в ²³⁵U, вызывают деление ядер. Следовательно, в системе оказывается 200 нейтронов с энергией спектра деления. 40 нейтронов вылетают из систевы в процессе замедления. 20 – поглощаются в ²³⁸U во время замедления. Итого 140 нейтронов замедлились и стали тепловыми. 10 тепловых нейтронов вылетели из системы. 30 нейтронов поглотились замедлителем, ²³⁸U, вредными примесями и т.п. 100 медленных нейтронов поглотились в ²³⁵U и вызвали деление ядер.

Так, изменение в единицу времени числа нейтронов, находящихся в заданном объеме, равно числу образовавшихся нейтронов минус число ушедших из объема и поглощенных нейтронов. Общее уравнение, выражающее этот баланс, может быть записано в виде

Образование – Утечка – Поглощение

Где - изменение плотности потока нейтронов в единицу времени.

Если система находится в состоянии равновесия, то уравнение баланса принимает вид

Образование = Утечка + Поглощение

Образование нейтронов обозначим S. Утечка нейтронов из единицы объема за одну секунду можно вычислить по формуле

В этом выражении D – называют коэффициентом диффузии нейтронов. Осталось вычислить число поглощений нейтронов за одну секунду в одном см³ . Это число равно . Таким образом, уравнение баланса нейтронов принимает вид

Это уравнение обычно называют уравнением диффузии. Оно широко используется в теории реакторов и применимо только к моноэнергетическим нейтронам. А также на расстоянии двух-трех длин свободного пробега от сильных поглотителей, источников или границ с неодинаковыми средами.

Уравнение диффузии записано для переменной Ф. Эта переменная называется плотностью потока нейтронов, и в общем виде является функцией многих переменных.

Где x,y,z – пространственные переменные, Е – энергетическая, Ω – угловая и t – временная. Записывая уравнение диффузии, мы сделали предположение о том, что все нейтроны имеют одну и ту же скорость или энергию. Кроме этого, на расстоянии двух-трех длин свободного пробега от сильных поглотителей, источников или границ с неодинаковыми средами это уравнение не применимо к описанию поля нейтронов.

Давайте определим физический смысл плотности потока нейтронов. Если в однородной среде выделить площадку размером 1 см², то плотностью потока нейтронов называется число нейтронов, пересекающих эту площадку за одну секунду. Таким образом в уравнении диффузии величина n и Ф связаны простым соотношением (v – скорость нейтронов)

Поэтому уравнение диффузии запишется в виде.

Уравнение диффузии является дифференциальным уравнением, а такое уравнение не дает полного описания физической картины, поскольку общее решение его содержит произвольные постоянные интегрирования. Для того чтобы должным образом определить значения этих постоянных, на решения дифференциальных уравнений налагаются ограничения в виде граничных условий, устанавливаемых в соответствии с характером рассматриваемой физической задачи. Число этих граничных условий должно быть достаточным для обеспечения единственности решения. Рассмотрим примеры таких условий.

Нейтронный поток должен быть конечным и неотрицательным в области, где применимо уравнение диффузии.

На плоской границе двух сред, обладающих разными диффузионными характеристиками, результирующие плотности потока нейтронов в направлении нормали к границе, равны.

Вблизи границы между диффузионной средой и пустотой нейтронный поток меняется таким образом, что линейная экстраполяция приводит к обращению его в ноль на определенном расстоянии (так называемом экстраполированном) за этой границей.

В случае, когда плотность потока нейтронов не меняется, а источники нейтронов находятся вне рассматриваемой среды, получим

Записанное уравнение часто называют волновым уравнением, так как оно аналогично тому, которое описывает распределение волн в пространстве. Величина, обратная каппа, определяется как диффузионная длина нейтронов в среде – L.

Приведем некоторые экспериментальные результаты:

Каким образом в среде образуются тепловые нейтроны, описываемые уравнением диффузии? Они появляются в результате замедления быстрых нейтронов.

Весьма удобной величиной, при исследовании замедления нейтронов является среднее уменьшение натурального логарифма нейтронной энергии при одном столкновении, или средний логарифмический декремент энергии на одно столкновение

Если считать соударения нейтрона с ядрами идеально упругими и рассеянья нейтронов сферически симметрично в системе центра инерции, то можно вывести следующее соотношение для А>1.

(А>10)

Кроме этого, важна высокая вероятность рассеянья, которая характеризуется макроскопическим сечением рассеянья. Поэтому произведение называется замедляющей способностью. Эта величина есть лучшая мера эффективности замедлителя.

При выводе уравнения замедления нейтронов удобно энергию нейтронов выразить в безразмерном виде.

Переменную u называют логарифмическим декрементом энергии или летаргией. Е₀ – начальная энергия нейтронов.

Если определить среднюю длину свободного пробега нейтрона по отношению к рассеянью, то есть среднее расстояние, проходимое нейтроном между двумя последовательными столкновениями с ядрами, как λ_s, то

Допустим, что все нейтроны, замедляющиеся в течении времени t обладают скоростью v. Число столкновений, испытываемых нейтроном в ближайшем временном интервале dt – vdt/λ_s . Поскольку среднее логарифмическое уменьшение энергии при одном столкновении – ,

Если выразить левую часть через летаргию, получим

Рассмотрим теперь элементарный объем, определяемый радиус вектором r, в котором нейтроны замедляются в течении времени t. В течение ближайшего следующего интервала времени dt они будут вытекать из этого объема. Быстрота вытекания определяется величиной

Если интервал летаргии соответствует интервалу времени то

Можно записать следующее выражение

Введем новый термин – плотность замедления получим

Введем новую переменную, называемую возрастом нейтронов

Тогда уравнение замедления нейтронов, называемое уравнением возраста, запишется в виде

Уравнение диффузии и уравнение возраста позволяют описать процесс протекания цепной реакции деления в критическом реакторе.

Для учета резонансного поглощения нейтронов в процессе замедления вводят коэффициент, учитывающий это поглощение φ. Тогда уравнение диффузии для тепловых нейтронов может быть записано в виде

Таким образом, решив дифференциальное уравнение относительно плотности замедления и подставив это решение в уравнение диффузии, можно определить плотность потока нейтронов.

Допустим, что в уравнении замедления переменные разделяются,

Подставим это выражение в уравнение возраста.

Так как левая и правая части уравнения зависят от разных переменных, то каждую из них можно приравнять константе

Решение уравнения для переменной, зависящей от возраста, имеет вид

Постоянная В² должна быть вещественной величиной, чтобы удовлетворить физическому требованию – плотность замедления не может возрастать с увеличением возраста.

Предположим для простоты, что система, состоящая из горючего вещества и замедлителя, представляет собой бесконечный плоско-параллельный слой конечной толщины. Пусть внешние источники нейтронов равномерно распределены по плоскости симметрии слоя. Если начало координат расположить на плоскости источников и ось х направить перпендикулярно этой плоскости, то пространственная составляющая плотности замедления будет зависеть только от х.

Легко показать, что решение этого уравнения, удовлетворяющее требованиям симметрии и граничному условию q=0 при х=a/2 и x=–a/2, имеет вид

Где n – произвольное целое нечетное число. Величина В² принимает значение

Которые являются собственными значениями данной задачи, каждое из них соответствует собственной функции Х_n . Наименьшее или основное значение В² отвечает значению n=1, остальные значения должны быть больше .

Общее решение уравнения возраста будет суммой частных решений по всем нечетным n.

Представим внешний источник тоже как сумму

Так как полное число быстрых нейтронов деления есть .

Эта величина плюс мощность внешних источников должна равняться плотности замедления при энергии нейтронов деления.

Выразим значение плотности потока из этого уравнения, используя два предыдущих.

Подставим выражения плотности потока и плотности замедления в уравнение диффузии и, так как члены ряда Фурье линейно независимы, запишем уравнение для произвольного значения n.

Длина диффузии тепловых нейтронов - , а время жизни нейтронов в бесконечной среде

Решение уравнения имеет вид.

При увеличении размеров рассматриваемой системы наступит момент, когда наименьшее из чисел В_n, а именно В₁, будет таково, что k₁ станет равным единице. В этом случае наступает критическое состояние рассматриваемой системы. Следовательно, условие критичности k₁=1 можно переписать, как

Это значит, что данная конструкция, состоящая из горючего вещества и замедлителя, будет способной осуществлять самоподдерживающуюся цепную реакцию. Приведенное выше уравнение принято называть уравнением критичности.