Полный факторный эксперимент

В тех случаях, когда информация о функционировании объекта недостаточна или невозможно составить его детерминированную модель, прибегают к экспериментально-статистическим методам. При этом процесс рассматривают как “черный ящик”. Различают пассивный и активный эксперимент.

Активный эксперимент ставится по заранее составленному плану (планирование эксперимента). Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для получения математической модели процесса [1]. Планирование эксперимента позволяет варьировать ряд факторов и получать одновременно количественные оценки всех проявляющихся эффектов. При этом, в отличие от классического регрессионного анализа, удается избежать корреляции между коэффициентами уравнения регрессии.

В случае, когда число факторов известно, можно найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных со­четаний уровней факторов: , где N – число опытов, k – число факторов, 2 – число уровней. В общем случае эксперимент, в котором реализуются все­возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеет место полный факторный экспе­римент типа 2^k.

Нетрудно написать все сочетания уровней в экспе­рименте с двумя факторами. В планиро­вании эксперимента используются кодированные значения факторов: +1 и –1 (часто для простоты записи единицы опускают). Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Будем называть такие таблицы матрицами планирования эксперимента (табл. 1).

Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку вектор-строкой. Таким образом, мы имеем 3 вектор-столбца факторных переменных и один вектор-столбец парамет­ра оптимизации.

Таблица 1 - Матрица планирования для трех факторов

При добав­лении нового фактора каждая комбинация уровней исход­ного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Отсюда появляется прием: записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня.

Эксперимент плани­руется для того, чтобы получить модель, обладающую некоторыми оптимальными свойствами. Оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими и точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть от направления в факторном пространстве, т.к. заранее неясно, куда предстоит двигаться при поиске оптимума.

Из построения матрицы следуют два свойства:

1) первое свойство – симметричность относительно центра эксперимента – формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю

где j – номер фактора, N – число опытов, i = 1, 2, ..., k .

2) второе свойство – условие нормировки – формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов

Это следствие того, что значения факторов в матрице кодируются +1 и –1.

Третье свойство - сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю

.

Это свойство называется ортогональностью матрицы планирования.

Четвертое свойство называется ротатабельностью, т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Уровни факторов в ПФЭ представляют собой границы исследуемой области (минимальное и максимальное значение фактора). Зная максимальное z_{i max} и минимальное z_{i min} значения факторных переменных можно определить координаты центра плана, так называемый основной уровень z_{i 0}, а также шаг варьирования Δz_i :

(1)

При выборе верхнего и нижнего уровней факторов необходимо учитывать ограничения, связанные со свойствами объекта исследования. На интервал варьирования так же накладываются ограничения: он не может быть меньше ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, и не может быть настолько большим, что верхний и нижний уровень окажутся за пределами области определения.

От систем координат z1, z2, …zk необходимо перейти к новой безразмерной системе координат x1,x2 …, xk с помощью линейного преобразования:

(2)

Благодаря кодированию факторов расчет ко­эффициентов уравнения регрессии превращаются в простую арифметическую про­цедуру. Коэффициенты уравнения вычисляются по формуле:

(3)

Эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная модель

адекватна. Греческие буквы использованы для обозначения «истинных» значений неизвестных коэффициентов модели. Эксперимент позволяет только получить выборочные оценки для коэффициентов уравнения

. (4)

Их точность и надежность зависят от свойств выборки и нуждаются в статистической проверке.

Для вычисления коэффициента b₀, в матрицу планирования вводят вектор-столбец фиктивной переменной x₀, которая прини­мает во всех опытах значение +1. Это было учтено в записи формулы (3), где j принимало значения от 0 до k.

Коэффициенты при факторных переменных указывают на силу их влияния. Чем больше величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением зна­чения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус - уменьшается.

Планируя эксперимент, на первом этапе исследователь стремимся получить линейную модель. Однако нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. Существуют способы проверки пригодности линейной модели (проверка адекватности).

Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае гово­рят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, воспользоваться правилом перемножения столбцов, получить стол­бец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия с новым вектор - столбцом, можно обращаться так же, как с вектор - столбцом любого фактора. При добавлении столбцов эффектов взаимодействий все рассмотренные свойства матриц планирования сохраняются. В этом случае модель выглядит следующим образом:

(5)

Коэффициент b_ij вычисляется обычным путем (3). Столбцы x₁, x₂,…_.x_k задают планирование – по ним определяются условия опытов, а столбцы x₀и x_ix_j служат только для расчета соответствующих коэффициентов модели.

Необходимо обратить внимание на то, что при оптимизации стремятся сделать эффекты взаимодействия возможно меньшими. В задачах интерполяции их выяв­ление часто важно и интересно.

Физический смысл эффекта взаимодействия можно пояснить следующим примером. Пусть на некоторый процесс влияют два фактора: температура и время реакции. В области низких температур увеличение времени увели­чивает выход продукта. При переходе в область высоких температур эта закономерность нарушается. Здесь необходимо уменьшать время реакции. В этом заключается проявление эффекта взаимодействия.

Ортогональность матрицы планирования позволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициен­тов модели. Величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты. Это спра­ведливо лишь в том случае, если модель включает только линейные эффекты и эффекты взаимодействия.

Коэффициенты регрессии не коррелированны между собой. Значимость для каждого коэффициента в отдельности проверяется по критерию Стьюдента. Исключение из уравнения регрессии (5) незначимого коэффициента не сказывается на остальных коэффициентах. Все коэффициенты уравнения определяются с одинаковой точностью. Среднеквадратичная погрешность коэффициентов вычисляется по формуле:

(6)

где s_восп- среднеквадратичная погрешность воспроизведения опытов, оценивается по параллельным опытам в центре плана.

Расчетное значение критерия Стьюдента определяется по формуле:

(7)

Расчетные значения критерия Стьюдента сравнивается с табличным значением для соответствующего уровня значимости. Если расчетное значение меньше табличного, то такой коэффициент исключаются из уравнения регрессии.

Незначимость коэффициентов может быть обусловлена следующими причинами:

1) основной уровень z_{i 0} близок к точке частного экстремума по переменной z_i ;

2) малый шаг варьирования ;

3) переменная z_i не имеет функциональной связи с зависимой переменной «y»;

4) велика ошибка воспроизводимости эксперимента.

После проверки значимости коэффициентов проверяется адекватность полученного уравнения регрессии, используя критерий Фишера:

(8)

где остаточная дисперсия рассчитывается по формуле:

(9)

где y^мод - рассчитанное по модели значение зависимой переменной (параметр оптимизации); L - число значимых коэффициентов в уравнении регрессии.

Расчетное значение критерия адекватности сравнивают с табличным значением критерия Фишера (при соответствующим уровне значимости). При этом, если расчетное значение критерия меньше табличного, то полученное уравнение регрессии адекватно описывает эксперимент.

Если гипотеза адекватности отвергается, то необходимо переходить к боле сложной форме уравнения регрессии, либо провести эксперимент с меньшим шагом . При этом растет влияние помех, уменьшаются значения коэффициентов b_i.