Исследование почти стационарной области

Теория планирования эксперимента - статистический метод, цель которого не получить точную зависимость между факторами, но практически полезное приближение к ней, которое можно использовать чтобы найти оптимальное сочетание факторов. Будем предполагать, что изучаемый процесс физически осуществлен и перед исследователем стоит задача его оптимизации [12].

Задачи поиска оптимальных условий являются одними из наиболее распространенных научно-технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена возмож­ность проведения процесса и необходимо найти наилучшие (оптимальные в некотором смысле) условия его реализации. Задачи, сформулированные таким образом, на­зываются задачами оптимизации. Процесс их решения называется процессом оптимизации или просто оптими­зацией.

Это название свя­зано с глубокой аналогией между решением задачи опти­мизации и поиском экстремума некоторой функции. При решении задачи будем использовать математиче­ские модели объекта исследования. Под математической моделью мы понимаем уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Главное предположение – это непрерывность уравнения, ее гладкость и наличие единственного оптимума (быть может, и на границе области определения факторов).

При оптимиза­ции распространен так называемый детерминированный подход. Детерминированный подход предполагает построение физической модели процесса на основании тщательного изучения механизма явления. Несомненно, что детерминированный и статистический (связанный с планированием экспери­мента) подходы должны дополнять друг друга, а не противопоставляться. При планировании экстремального эксперимента очень важно определить параметр, который нужно оптимизиро­вать. Параметр оптимиза­ции является реакцией (откликом) па воздействие факто­ров, которые определяют поведение выбранной сис­темы.

Каждый объект может характеризоваться совокупностью параметров. Движение к оптимуму возможно, если выбран один единственный параметр оптимизации. Тогда прочие характеристики процесса уже не выступают в качестве параметров оптимизации, а служат ограниче­ниями. Другой путь – построение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от множества исходных. Следующее требование- параметр оптимизации должен выражаться одним числом. Еще одно требование к параметру – однозначность в статистическом смысле. Заданному набору значений фак­торов должно соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение параметра оптимизации.

Мы будем считать фактор заданным, если вместе с его названием указана область его определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. Это значит, что у каждого фактора есть минимальное и максимальное возможные значения, между которыми он может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Ясно, что совокупность зна­чений фактора, которая используется в эксперименте, является подмножеством из множества значений, обра­зующих область определении. При планировании эксперимента обычно одно­временно изменяется несколько факторов. Поэтому важно сформулировать требования, которые предъяв­ляются к совокупности факторов. Прежде всего, выдви­гается требование совместимости. При планировании эксперимента важна независи­мость факторов, т.е. возможность установления факто­ра на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условно невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент.

Нелинейную (квадратичную) модель мы намерены использовать для предсказания результатов опытов в тех точках, которые не входили в эксперимент. Если эти точки лежат внутри нашей подобласти, то такое предсказание называется интерполяцией, а если вне – экстра­поляцией. Чем дальше от области эксперимента лежит точка, для которой мы хотим предсказать результат, теме меньшей уверенностью это можно делать.

Поиск оптимума по полученному полиному может осуществляться различными методами. Можно, например, определить оптимальные величины факторных переменных z₁, z₂, ..z_k из системы уравнений:

При значительном числе переменных такой метод требует большого объема вычислений и учета ограничений, накладываемых на область определения факторов.

Можно определить направление градиента по каждой переменной в наилучшем из поставленных опытов и сделать один «численный» опыт в направлении градиента. В новой точке вновь определяется направление градиента и ставится второй «численный» опыт и т.д.

Иногда поиск экстремума упрощается при переводе уравнения регрессии в каноническую форму [2]:

где Y, X – новые координаты.

По знакам коэффициентов В канонической формы уравнения выбирают направление изменения Х от центральной точки канонической формы и доводят Х₁, Х₂, ….. Х_к до предельных значений.

Можно применить экспериментальный поиск оптимума. При этом движение из центральной точки к оптимуму совершают в направлении градиента и экспериментально проверить некоторые из них. При этом изменение факторных переменных должно быть незначительным.

Поиск оптимума может быть осуществлен методом нелинейного программирования.

Если область оптимума будет достигнута, то это будет самым легким случаем нахождения оптимального решения. Эксперимен­татор может окончить исследование, если задача заклю­чалась в достижении области оптимума, или продолжить исследование, если задача заключалась не только в дости­жении области оптимума, но и в детальном ее изучении.

Пример 1. Необходимо найти наилучшие (оптимальные) условия протекания химико-технологического процесса, для которого выход целевого продукта у (%) зависит от температуры в реакторе z₁ (⁰С) и pH среды z2 [12]. Зависимость описывается регрессионным уравнением в кодированных значениях факторных переменных (пример из лабораторной работы №4):

(1)

Интервалы варьирования факторов в опытах РЦКП 2² приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Значения нулевых уровней и интервалов варьирования

факторов

Знание нулевых уровней и интервала варьирования факторов (табл.) позволяет записать уравнение, устанавливающее связь между кодированными и физическими значениями факторных переменных:

x₁=(z₁-80)/20=0,05z₁-4; x₂=(z₂-1)/0,5=2z₂-2; (2)

x₁x₂=(0,05z₁-4)( 2z₂-2)=-0,1z₁-8z₂+0,1z₁z₂+8.

Подставляя (2) в (1) получаем уравнение регрессии в физических значениях факторных переменных:

y=71,806 – 1,0518z₁ -30,978z₂ + 0,7z₁z₂ (3)

Сформулируем задачу условной оптимизации с ограничениями в виде неравенств.

Найти условный оптимум (максимум) функции двух переменных:

при выполнении ограничений, накладываемых на диапазон изменения факторных переменных, ограниченных значением «звездного» плеча в плане РЦКП:

(5)

В результате решения получены оптимальные условия протекания химико-технологического процесса, для которого выход целевого продукта составил у=91,54% при температуре в реакторе z₁ =108,2 (⁰С) и pH среды z2=1,705.