Выражение магнитного потока и энергии

Через векторный потенциал

Магнитный поток, пронизывающий через поверхность S (рис. 4.3) равен:

индукцию . (4.11)

Рис. 4.3. К определению магнитного потока

На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть преобразован в линейный:

Используя теорему Стокса, получим: . (4.12)

(4.11)

Магнитный поток сквозь поверхность равен линейному интегралу от векторного потенциала по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность.

Определение потока по (4.12) часто имеет преимущества по сравнению с определением потока через магнитную индукцию (4.11). Соотношением (4.11) можно пользоваться в том случае, когда известно значение в любой точке поверхности S, тогда как для вычисления потока с помощью соотношения (4.12) достаточно знать значение на контуре и не требуется значения в точках внутри контура.

Для вычисления магнитного потока по формуле (4.11) достаточно знать векторный потенциал только на контуре, ограничивающем эту поверхность.

Известно, что с магнитным полем связана энергия, распределенная в пространстве с плотностью

.

В некоторой области V энергия определяется интегралом

, так как .

Используя равенство получим

Преобразуем второе слагаемое по теореме Остроградского-Гаусса

При учете всей энергии поля подынтегральное выражение в последней формуле устремляется к нулю, так как произведение векторного потенциала и напряжености магнитного поля убывает быстрее, чем r ^–2, а площадь увеличивается пропорционально r². Таким образом, с учетом получаем:

. (4.1213)

Необходимо отметить, что величина не является плотностью энергии. Если предположить, что — плотность энергии магнитного поля, то немедленно следует, что вся энергия магнитного поля заключена в области, где (например, в проводах). Однако физически данное утверждение неверно, так как энергией обладают все точки, где . Выражение (4.1213) просто устанавливает связь между энергией поля и векторным потенциалом .