Состоятельность,т.е. устойчивость относительно увеличения размера выборки.

Оценка b неизвестного параметра b называется состоятельной, если по мере роста числа наблюдений n (т.е. при n ®¥) она стремится по вероятности к истинному значению оцениваемого параметра b, т.е. если для сколь угодно малой d > 0 Рr í÷b – b÷ > d ý ® 0 при n ® ¥.

Заметим, что достаточными условиями состоятельности оценки q*_n параметра q являются следующие ее свойства:

1) смещение В_n = [ Е(b ) - b ] оценки b равно нулю или стремится к нулю при n ® ¥;

2) дисперсия оценки D(b) удовлетворяет условию .

Требование состоятельности представляется необходимым для того, чтобы оценка имела практический смысл (так как в противном случае увеличение объема исходной информации не будет «приближать нас к истине»), а следовательно, это свойство должно проверяться в первую очередь. Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

Но следует иметь в виду, что это асимптотическое (по числу наблюдений) свойство, т.е. оно может проявляться лишь при столь больших объемах выборок, до которых мы в нашей практике «не добираемся». Кроме того, часто можно предложить несколько состоятельных оценок одного и того же параметра. Поэтому для полной характеристики надежности оценки свойство состоятельности надо дополнить рассмотрением других свойств.

Несмещенность

Как уже отмечалось, значения оценок лишь по случайному совпадению могут в точности равняться характеристикам генеральной совокупности. Обычно будет присутствовать определенная ошибка, которая может быть большой или малой, положительной или отрицательной, в зависимости от чисто случайных составляющих величин х в выборке. Исследователь, понятно, желает, чтобы математическое ожидание оценки равнялось соответствующей характеристике генеральной совокупности. Если это так, то оценка называется несмещенной. Если это не так, то оценка называется смещенной, и разница между ее математическим ожиданием и соответствующей теоретической характеристикой генеральной совокупности называется смещением.

Более строгое определение: оценка b неизвестного параметра b называется несмещенной, если при любом объеме выборки n результат ее осреднения по всем возможным выборкам данного объема приводит к точному истинному значению оцениваемого параметра, т. е. E(b) = b.

Если оценка является смещенной, и это смещение удалось определить, то оно легко устраняется.

· Эффективность

Несмещенность – желательное свойство оценок, но это не единственное такое свойство. Еще одна важная сторона – это надежность. Предположим, что мы имеем две оценки параметра b, рассчитанные на основе одной и той же информации (разными методами), что обе они являются несмещенными и что их функции плотности вероятности показаны на рис. 1.

Функция плотности

вероятности

b

Рис. 1. Эффективные и неэффективные оценки

Поскольку функция плотности вероятности для оценки В более «сжата», чем для оценки А, то с ее помощью можно скорее получить более точное значение. Формально говоря, эта оценка более эффективна.

Оценка b неизвестного параметра b называется эффективной, если среди всех прочих оценок того же самого параметра она обладает наименьшей дисперсией. То есть, если оценка эффективная, то распределениеее значений сосредоточено вокруг истинной величины оцениваемого параметра.

Изучение того, как меняются свойства формул оценивания при ослаблении предпосылок классической модели, представляет собой исходный момент собственно эконометрического анализа.

В центре нашего внимания находятся три вопроса, относящиеся к каждой из предпосылок модели:

1. Как изменится свойство формулы оценивания, если ослабить данную предпосылку?

2. Как практически проверить обоснованность использования той или иной предпосылки?

3. Если предпосылки модели не выполняются, то как они могут быть изменены, чтобы сохранить полезные свойства получаемых оценок?

Итак, при выполнении основных предпосылок классической регрессии МНК-оценки обладают свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности, т.е. являются наилучшими линейными несмещенными оценками. Это значит, что в классе всех линейных несмещенных операторов оценивания оценки наименьших квадратов обладают наименьшей дисперсией.

С помощью регрессионного анализа при указанных предположениях 1) - 5) находят оценки параметров регрессии, наиболее хорошо согласующиеся с опытными данными.

Разность между b₀ и b₀ , b₁ и b₁, возникающая за счет оценивания на основе имеющихся в распоряжении опытных данных, называется ошибкой оценки. При выборе процедуры оценивания стараются эту ошибку сделать как можно меньше. Оценки, удовлетворяющие этому требованию, называются хорошими. Методы оценивания называются также хорошими, если их результатами являются оценки с желательными свойствами.