ОЦЕНКА ПОСТОЯННОГО АННУИТЕТА ПРЕНУМЕРАНДО

Если на денежные поступления начисляются только сложные проценты, то соответствующие расчетные формулы для нара­щенных сумм аннуитета пренумерандо можно легко вы­вести из формул (7.7), (7.11), (7.12), (7.14). Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо количеством периодов начисления процентов.

Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регуляр­ными денежными поступлениями, равными А, и процентной ставкой , наращенный денежный поток имеет вид

…,

следовательно, учитывая (7.7),

(7.31)

т.е. наращенная сумма (будущая стоимость) аннуитета пренуме­рандо больше в раз наращенной суммы аннуитета постнумерандо.

Аналогичным образом для аннуитета пренумерандо с начис­лением процентов раз в течение базового периода, используя (4.11), получим:

(7.32)

Для р-срочных аннуитетов с учетом (7.12), (7.14) можно на­писать следующие соотношения:

(7.33)

(7.34)

Конечно, (7.31) - (7.33) являются частными случаями (7.34). Из формулы (7.34) следует, что . Финансовый смысл этого неравенства очевиден: для получателя денежные поступления пренумерандо выгоднее, так как они начинаются на период раньше, чем постнумерандо, т.е. подтверждается вре­менная ценность денег: деньги "сейчас" предпочтительнее, чем "потом".

Несколько иной будет ситуация в р-срочном аннуитете пре­нумерандо, когда на взносы, поступающие в течение базового периода, начисляются простые проценты. В отличие от аннуи­тета постнумерандо в этом аннуитете в каждом периоде любой взнос "действует" еще ю) часть периода, тем самым доставляя к концу периода дополнительную величину . Следовательно, к концу каждого периода взносы, число которых равно р, доставят величину .

После таких рассуждений качественного характера выведем аналитически формулу для будущей стоимости .

На последнее р-е поступление начисляются простые проценты за ю) часть периода, и оно будет равно , предпоследнее -е поступление станет равным и т.д. до первого поступления, которое станет равным . Следовательно, сумма этих величин, образующих арифметиче­скую прогрессию, равна:

Таким образом, используя (7.13), получим:

(7.35)

С финансовой точки зрения эта формула следует из приве­денных качественных рассуждений. Поскольку к концу каждого периода взносы доставляют дополнительную величину , то к будущей стоимости исходного аннуитета постнумерандо нужно прибавить еще будущую стоимость аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями, равными , а это и есть второе слагаемое в формуле (7.35). Естественно, и в этом случае .

В случае начисления только сложных процентов формулы для расчетов приведенных стоимостей аннуитетов пренумеран­до имеют вид, аналогичный формулам (7.31) - (7.34), т.е. нахо­дится приведенная стоимость соответствующего аннуитета по­стнумерандо и затем полученное значение умножается на соот­ветствующий множитель наращения. Таким образом, рассмат­ривая различные аннуитеты, можно написать:

(7.36)

(7.37)

(7.38)

(7.39)

Ясно, что . Из приведенных формул понятно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема под­разумевается в финансовой сделке - постнумерандо или пре­нумерандо; содержание финансовой таблицы инвариантно к этому фактору. Однако при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой по­ступления денежных платежей.

В случае антисипативного начисления процентов формулы для оценки аннуитета пренумерандо получаются таким же обра­зом, как и приведенные ранее формулы. Величины будут умножаться на соответствующий множитель. На­пример, формулы типа (7.31), (7.36) будут иметь вид:

(7.40)

(7.41)

Если начисляются непрерывные проценты, то для получения формул определения будущей или приведенной стоимости ан­нуитета пренумерандо необходимо перейти к пределу при , например, в формулах (7.34), (7.39). Так, в частности, из (7.34) следует, что для непрерывных процентов

,

где - сила роста.